ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$.

Из второго уравнения $y=\sqrt{x+9}⩾0$, поэтому $|y|=y=\sqrt{x+9}$, и первое уравнение принимает вид $|x|+\sqrt{x+9}=a$. Значит, система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}|x|+\sqrt{x+9}=a,\\ y=\sqrt{x+9}.\end{array}$$

Каждому корню $x⩾-9$ первого уравнения соответствует ровно одно $y$, поэтому решений у системы столько же, сколько корней у уравнения $h(x)=a$, где

$$h(x)=|x|+\sqrt{x+9},x⩾-9.$$

Исследуем $h$. Сделаем замену $t=\sqrt{x+9}$, тогда $t⩾0$ и $x=t^2-9$. Когда $x$ растёт от $-9$ до $+\infty$, число $t$ растёт от $0$ до $+\infty$, и разным $x$ соответствуют разные $t$. Поэтому $h$ возрастает или убывает там же, где функция

$$\phi (t)=\left|t^2-9\right|+t,t⩾0.$$

Раскроем модуль. Выражение $t^2-9$ меняет знак при $t=3$, что соответствует $x=0$.

При $0⩽t⩽3$ (то есть $-9⩽x⩽0$):

$$\phi (t)=9-t^2+t=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{37}{4}.$$

Это парабола с ветвями вниз и вершиной при $t=\frac{1}{2}$. Она возрастает на $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ от $\phi (0)=9$ до $\frac{37}{4}$ и убывает на $\left[\frac{1}{2};3\right]$ до $\phi (3)=3$. Значению $t=\frac{1}{2}$ соответствует $x=\frac{1}{4}-9=-\frac{35}{4}$.

При $t>3$ (то есть $x>0$): $\phi (t)=t^2+t-9$. При $t>0$ оба слагаемых $t^2$ и $t$ возрастают, поэтому функция возрастает от $3$ до $+\infty$.

Итак, функция $h$ непрерывна и:

— возрастает на $\left[-9;-\frac{35}{4}\right]$ от $h(-9)=9$ до $h\left(-\frac{35}{4}\right)=\frac{35}{4}+\frac{1}{2}=\frac{37}{4}$;

— убывает на $\left[-\frac{35}{4};0\right]$ от $\frac{37}{4}$ до $h(0)=3$;

— возрастает на $[0;+\infty )$ от $3$ до $+\infty$.

Число корней уравнения $h(x)=a$ равно числу точек пересечения графика с горизонтальной прямой на высоте $a$. На каждом из трёх участков функция строго монотонна и непрерывна, поэтому каждое значение между значениями на концах участка принимает ровно один раз. Граничные положения прямой: $a=3$ (через точку минимума $(0;3)$), $a=9$ (через левый конец графика $(-9;9)$) и $a=\frac{37}{4}$ (через вершину $\left(-\frac{35}{4};\frac{37}{4}\right)$). На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничные положения показаны пунктиром.

Разберём все случаи.

При $a<3$ корней нет: наименьшее значение $h$ равно $3$.

При $a=3$ корень один: $x=0$.

При $3<a<9$ на первом участке корней нет (там $h⩾9$), на втором участке один корень, на третьем один — два решения.

При $a=9$ корни: $x=-9$ на первом участке, по одному на втором и третьем — три решения.

При $9<a<\frac{37}{4}$ по одному корню на каждом из трёх участков — три решения.

При $a=\frac{37}{4}$ корень $x=-\frac{35}{4}$ (общий конец первого и второго участков) и один корень на третьем участке — два решения.

При $a>\frac{37}{4}$ корень только на третьем участке — одно решение.

Ответ: $a\in (3;9)\cup \left\{\frac{37}{4}\right\}$.