ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому первое уравнение задаёт объединение двух прямых:

$$l_1:x+ay=13,l_2:x+ay=13a.$$

Второе уравнение $x^2+y^2=12^2$ задаёт окружность $\omega$ с центром $O(0;0)$ и радиусом $12$.

При $a=1$ обе прямые совпадают с прямой $x+y=13$. У прямой и окружности не больше двух общих точек, поэтому решений не больше двух — значение $a=1$ не подходит.

При $a\ne 1$ левые части уравнений прямых одинаковы, а правые различны ($13\ne 13a$), поэтому прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны и общих точек не имеют. Каждая из них пересекает окружность не более чем в двух точках. Значит, система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда $a\ne 1$ и каждая из прямых пересекает окружность в двух точках.

Прямая $l_1$. Выразим $x=13-ay$ и подставим в уравнение окружности:

$$(13-ay{)}^2+y^2=144;169-26ay+a^2{y}^2+y^2-144=0;\left(a^2+1\right)y^2-26ay+25=0.$$

Старший коэффициент $a^2+1>0$, так что уравнение квадратное. Каждому его корню $y$ соответствует ровно одна точка прямой ($x=13-ay$), поэтому общих точек с окружностью столько же, сколько корней. Два корня — при положительном дискриминанте:

$$\frac{D}{4}=(13a{)}^2-25\left(a^2+1\right)=144a^2-25>0;(12a-5)(12a+5)>0.$$

Получаем $a<-\frac{5}{12}$ или $a>\frac{5}{12}$.

Прямая $l_2$. Выразим $x=13a-ay=a(13-y)$ и подставим:

$$a^2(13-y{)}^2+y^2=144;a^2{y}^2-26a^{2}y+169a^2+y^2-144=0;\left(a^2+1\right)y^2-26a^{2}y+169a^2-144=0.$$

Найдём дискриминант:

$$\frac{D}{4}={\left(13a^2\right)}^2-\left(a^2+1\right)\left(169a^2-144\right)=169a^4-169a^4+144a^2-169a^2+144=144-25a^2.$$

Два корня при $144-25a^2>0$, то есть $(5a-12)(5a+12)<0$.

Получаем $-\frac{12}{5}<a<\frac{12}{5}$.

Тот же результат даёт геометрия: прямая пересекает окружность в двух точках, когда расстояние от центра до неё меньше радиуса, то есть $\frac{13}{\sqrt{1+a^2}}<12$ для $l_1$ и $\frac{13|a|}{\sqrt{1+a^2}}<12$ для $l_2$; после возведения в квадрат это те же неравенства $144a^2>25$ и $25a^2<144$.

Итог. Пересечём оба множества и исключим $a=1$, которое лежит в интервале $\left(\frac{5}{12};\frac{12}{5}\right)$:

Ответ: $a\in \left(-\frac{12}{5};-\frac{5}{12}\right)\cup \left(\frac{5}{12};1\right)\cup \left(1;\frac{12}{5}\right)$.