Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Решим задачу графически на плоскости .
ОДЗ первого уравнения: , то есть . На ОДЗ оба множителя определены, а произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому первое уравнение равносильно системе
Уравнение даёт . Это значение удовлетворяет ОДЗ, а при этом может быть любым — получаем всю горизонтальную прямую .
В уравнении выделим полный квадрат: , поэтому
Это окружность с центром и радиусом . Центр лежит на прямой , поэтому условие оставляет нижнюю полуокружность с концами и и нижней точкой .
Второе уравнение задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом ; с ростом прямая сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек прямой с объединением прямой и полуокружности .
Прямая . Прямая не горизонтальна, поэтому пересекает прямую ровно в одной точке при любом .
Касание. Прямая , то есть , касается окружности, когда расстояние от центра до неё равно радиусу:
При прямая пересекает окружность в двух точках, при — не пересекает. При прямая проходит выше центра и касается верхней полуокружности, которая в множество не входит. При прямая проходит ниже центра (при её ордината ) и касается полуокружности в точке — основании перпендикуляра, опущенного из .
Сколько точек пересечения лежит на . Прямая возрастает, поэтому её точки левее лежат ниже прямой , а правее — выше. Значит, точка пересечения с окружностью принадлежит тогда и только тогда, когда её абсцисса не больше .
При имеем , а абсциссы всех точек окружности не больше . Поэтому все точки пересечения с окружностью лежат на : при их нет, при одна (касание), при две (здесь , так как ).
При точка лежит внутри отрезка , то есть внутри круга. Прямая через внутреннюю точку круга пересекает окружность в двух точках по разные стороны от : левая лежит на , правая — нет. Общая точка с одна, и её ордината меньше .
При точка совпадает с . Единственная точка окружности с абсциссой не больше — это , поэтому общая точка с одна — .
При имеем , а левее прямой точек окружности нет — общих точек с нет.
Совпадения. Точки на прямой — только её концы и . Значит, точка совпадает с точкой полуокружности лишь при , то есть , , и при , то есть .
Получаем граничные положения прямой: I — касание при , II — прохождение через при , III — прохождение через при . Изобразим их пунктиром.
Разберём все случаи.
При есть только точка — одно решение.
При — точка и точка касания; у точки касания , поэтому она отлична от . Итого два решения.
При — точка и две точки , все различны — три решения.
При прямая пересекает окружность в точках и : из получаем . Точка совпадает с , поэтому различных точек две — два решения.
При — точка и одна точка с , они различны — два решения.
При единственная общая точка с — это , и она же есть . Одно решение.
При есть только точка — одно решение.
Ответ: .