ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим левую часть $f(x)=|x+2a+8|+|x-2a-16|$, правую — $g(x)=3|x|+3|x-4|$. Неравенство должно выполняться при всех $x$, значит, график $f$ должен целиком лежать не выше графика $g$. Если хотя бы в одной точке график $f$ выше, то при этом $x$ неравенство нарушается.

График $g$. Модули обращаются в нуль при $x=0$ и $x=4$. Раскроем их на трёх промежутках:

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-3x-3(x-4)=-6x+12,& x<0,\\ 3x-3(x-4)=12,& 0⩽x⩽4,\\ 3x+3(x-4)=6x-12,& x>4.\end{array}$$

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого — отрезок прямой $y=12$ при $0⩽x⩽4$. Вне отрезка $[0;4]$ имеем $g(x)>12$, поэтому наименьшее значение $g$ равно $12$.

График $f$. Модули обращаются в нуль при $x=-2a-8$ и $x=2a+16$. Выясним, какая из точек левее: $-2a-8⩽2a+16$ равносильно $a⩾-6$.

Случай $a⩾-6$. Раскроем модули:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x+2a+8)-(x-2a-16)=-2x+8,& x<-2a-8,\\ (x+2a+8)-(x-2a-16)=4a+24,& -2a-8⩽x⩽2a+16,\\ (x+2a+8)+(x-2a-16)=2x-8,& x>2a+16.\end{array}$$

Случай $a<-6$. Теперь левее точка $2a+16$:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+8,& x<2a+16,\\ -(x+2a+8)+(x-2a-16)=-4a-24,& 2a+16⩽x⩽-2a-8,\\ 2x-8,& x>-2a-8.\end{array}$$

В обоих случаях график $f$ — тоже «корыто». Его боковые стороны лежат на неподвижных прямых $y=-2x+8$ и $y=2x-8$, которые пересекаются в точке $(4;0)$. Дно лежит на высоте $c=4a+24$ при $a⩾-6$ и $c=-4a-24$ при $a<-6$, то есть $c=4|a+6|$. Середина дна в обоих случаях — точка $x=\frac{(-2a-8)+(2a+16)}{2}=4$. При изменении $a$ дно поднимается или опускается, а его концы скользят по боковым прямым.

Боковые стороны. На боковых сторонах $f(x)=2|x-4|$: слева от дна $x<4$ и $-2x+8=2(4-x)$, справа $x>4$ и $2x-8=2(x-4)$. При этом при всех $x$

$$g(x)=3|x|+3|x-4|⩾3|x-4|⩾2|x-4|,$$

и оба равенства одновременно невозможны: первое требует $x=0$, второе $x=4$. Значит, на боковых сторонах график $f$ лежит строго ниже графика $g$, и нарушить неравенство может только дно.

Дно. Если $c⩽12$, то на дне $f(x)=c⩽12⩽g(x)$, и неравенство выполняется при всех $x$. Если $c>12$, то дно проходит над точкой $x=4$, и $f(4)=c>12=g(4)$ — неравенство нарушено. Итак, нужно, чтобы дно «корыта» $f$ было не выше дна «корыта» $g$.

Изобразим график $g$ (жирная линия), график $f$ в граничном положении $c=12$ (пунктир) и в самом нижнем положении $c=0$ при $a=-6$ (тонкая линия).

Решим условие $c⩽12$ в каждом случае.

При $a⩾-6$: $4a+24⩽12$, $4a⩽-12$, $a⩽-3$. С учётом случая получаем $a\in [-6;-3]$.

При $a<-6$: $-4a-24⩽12$, $-4a⩽36$, $a⩾-9$. С учётом случая получаем $a\in [-9;-6)$.

Объединяя оба случая, получаем $a\in [-9;-3]$.

Ответ: $a\in [-9;-3]$.