Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств 2a≤x, 6x>x²+a²… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Системы неравенств с параметром средняя развёрнутое

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система неравенств

$⎩ ⎨ ⎧ 2 a \leq x, 6 x > x^{2} + a^{2}, x + a \leq 6$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Нужно найти все $a$ , для которых найдётся хотя бы одно $x \in [4; 5]$ , удовлетворяющее всем трём неравенствам. Зафиксируем $x \in [4; 5]$ и выясним, при каких $a$ система верна.

Первое и третье неравенства. Первое неравенство означает $a ⩽ \frac{x}{2}$ , третье — $a ⩽ 6 - x$ . Сравним правые части: $6 - x ⩽ \frac{x}{2}$ равносильно $12 ⩽ 3 x$ , то есть $x ⩾ 4$ . На отрезке $[4; 5]$ это выполнено, поэтому из третьего неравенства следует первое, и первое можно отбросить.

Второе неравенство. Перепишем его как $a^{2} < 6 x - x^{2}$ . На отрезке $[4; 5]$ выражение $6 x - x^{2} = x (6 - x)$ положительно, поэтому

$- 6 x - x^{2} < a < 6 x - x^{2} .$

Сравнение верхних границ. Числа $6 - x$ и $6 x - x^{2}$ положительны при $x \in [4; 5]$ , поэтому сравним их квадраты:

$(6 x - x^{2}) - (6 - x)^{2} = 6 x - x^{2} - 36 + 12 x - x^{2} = - 2 x^{2} + 18 x - 36 = - 2 (x - 3) (x - 6) .$

При $3 < x < 6$ это выражение положительно, значит, $6 - x < 6 x - x^{2}$ , и верхней границей для $a$ служит $6 - x$ .

Итак, при фиксированном $x \in [4; 5]$ система равносильна двойному неравенству

$- 6 x - x^{2} < a ⩽ 6 - x .$

Этот промежуток непуст, так как его левый конец отрицателен, а правый положителен.

На плоскости $(x; a)$ такие точки при $4 ⩽ x ⩽ 5$ образуют криволинейную трапецию: сверху её ограничивает отрезок прямой $a = 6 - x$ (входит), снизу — дуга окружности $(x - 3)^{2} + a^{2} = 9$ (не входит), с боков — прямые $x = 4$ и $x = 5$ . Искомые значения $a$ — это проекция этой фигуры на ось $a$ .

Множество подходящих точек (x; a) при 4 ≤ x ≤ 5

Объединение по $x$ . С ростом $x$ на отрезке $[4; 5]$ правая граница $6 - x$ убывает от $2$ до $1$ . Выражение $6 x - x^{2} = 9 - (x - 3)^{2}$ убывает (так как $x - 3 > 0$ растёт) от $8$ до $5$ , поэтому левая граница $- 6 x - x^{2}$ возрастает от $- 22$ до $- 5$ . Значит, при любом $x \in [4; 5]$

$- 6 x - x^{2} ⩾ - 22 и 6 - x ⩽ 2,$

то есть каждый промежуток содержится в промежутке, полученном при $x = 4$ :

$- 22 < a ⩽ 2.$

Сам этот промежуток достигается при $x = 4$ . Поэтому система имеет решение на отрезке $[4; 5]$ ровно при $a \in (- 22; 2]$ .

Проверим концы. При $a = 2$ подходит $x = 4$ : $4 ⩽ 4$ , $24 > 16 + 4$ , $4 + 2 ⩽ 6$ . При $a = - 22$ второе неравенство требует $6 x - x^{2} > 8$ , но на $[4; 5]$ наибольшее значение $6 x - x^{2}$ равно $8$ — решений нет.

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- 22; 2]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19