ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Преобразуем первое уравнение. Равенство $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе $f=g$, $g⩾0$: если подкоренные выражения равны и одно из них неотрицательно, то неотрицательно и второе. Поэтому

$$\sqrt{4-y^2}=\sqrt{4-4x^2}\iff \{\begin{array}{l}4-y^2=4-4x^2,\\ 4-4x^2⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2=4x^2,\\ x^2⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=2x,\\ y=-2x,\end{array}\\ -1⩽x⩽1.\end{array}$$

Первое уравнение задаёт «крест» $K$ из двух отрезков: отрезка прямой $y=2x$ от $(-1;-2)$ до $(1;2)$ и отрезка прямой $y=-2x$ от $(-1;2)$ до $(1;-2)$. Концы входят в множество, отрезки пересекаются в начале координат $O(0;0)$.

Преобразуем второе уравнение: перенесём всё в левую часть и разложим на множители группировкой:

$$xy-ax-ay+a^2=0;x(y-a)-a(y-a)=0;(x-a)(y-a)=0.$$

Значит, второе уравнение задаёт пару прямых: вертикальную $x=a$ и горизонтальную $y=a$. Они пересекаются в точке $(a;a)$. Число решений системы равно числу общих точек креста $K$ с объединением этих прямых.

Прямая $x=a$. При $|a|⩽1$ она пересекает оба отрезка креста в точках $(a;2a)$ и $(a;-2a)$; эти точки различны при $a\ne 0$ и совпадают с $O$ при $a=0$. При $|a|>1$ общих точек нет, так как на кресте $|x|⩽1$.

Прямая $y=a$. С прямой $y=2x$ она пересекается в точке $\left(\frac{a}{2};a\right)$, с прямой $y=-2x$ — в точке $\left(-\frac{a}{2};a\right)$. Эти точки лежат на кресте, если $\left|\frac{a}{2}\right|⩽1$, то есть $|a|⩽2$. Они различны при $a\ne 0$ и совпадают с $O$ при $a=0$.

Совпадения. Точка, лежащая на обеих прямых, — это $(a;a)$. Она лежит на кресте, только если $a=2a$ или $a=-2a$, то есть при $a=0$. Значит, при $a\ne 0$ точки на вертикальной и на горизонтальной прямой различны, и их количества складываются.

Изобразим крест и граничные положения пары прямых при $a=1$ и $a=2$ (пунктир).

Разберём все случаи.

При $a=0$ обе прямые пересекают крест только в точке $O$ — одно решение.

При $0<|a|⩽1$ на прямой $x=a$ две точки и на прямой $y=a$ две точки — четыре решения. Например, при $a=1$ это $(1;2)$, $(1;-2)$, $\left(\frac{1}{2};1\right)$, $\left(-\frac{1}{2};1\right)$.

При $1<|a|⩽2$ прямая $x=a$ креста не пересекает, а на прямой $y=a$ две точки — два решения. При $a=2$ это концы креста $(1;2)$ и $(-1;2)$, они входят в множество.

При $|a|>2$ общих точек нет — решений нет.

Ответ: $a\in [-2;-1)\cup (1;2]$.