ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и график функции

Разбор — 4 балла

Множество точек является графиком функции $y=f(x)$, определённой при всех $x$, тогда и только тогда, когда для каждого действительного $x$ найдётся ровно одно $y$, удовлетворяющее равенству.

Обозначим $g(y)=y^3+a{y}^2+(2a+9)y$. Равенство принимает вид $g(y)=\sqrt{27}x$. Когда $x$ пробегает все действительные числа, число $c=\sqrt{27}x$ тоже пробегает все действительные числа. Значит, нужно найти все $a$, при которых уравнение $g(y)=c$ имеет ровно одно решение при каждом действительном $c$.

Существование решения. Функция $g$ — многочлен третьей степени с положительным старшим коэффициентом. Она непрерывна, стремится к $-\infty$ при $y\to -\infty$ и к $+\infty$ при $y\to +\infty$, поэтому принимает каждое значение $c$ хотя бы один раз. Это верно при любом $a$.

Единственность. Найдём производную:

$$g^{\prime }(y)=3y^2+2ay+2a+9.$$

Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Его дискриминант

$$\frac{D}{4}=a^2-3(2a+9)=a^2-6a-27.$$

Пусть $\frac{D}{4}>0$. Тогда у $g^{\prime }$ два корня $y_1<y_2$, и на интервале $(y_1;y_2)$ производная отрицательна, поэтому $g$ там убывает и $g(y_1)>g(y_2)$. Возьмём число $c$ строго между $g(y_2)$ и $g(y_1)$. На луче $(-\infty ;y_1]$ функция возрастает от $-\infty$ до $g(y_1)$ и принимает значение $c$; на отрезке $[y_1;y_2]$ она убывает от $g(y_1)$ до $g(y_2)$ и тоже принимает значение $c$. Получаем не меньше двух решений — такие $a$ не подходят.

Пусть $\frac{D}{4}⩽0$. Тогда $g^{\prime }(y)⩾0$ при всех $y$, причём равенство возможно лишь в одной точке. Функция с такой производной строго возрастает, поэтому каждое значение принимает ровно один раз — такие $a$ подходят.

Остаётся решить неравенство

$$a^2-6a-27⩽0;(a-9)(a+3)⩽0.$$

Получаем $-3⩽a⩽9$.

Ответ: $a\in [-3;9]$.