Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, аргументы логарифмов положительны:
Упростим систему. Так как и , второе неравенство равносильно . Два условия и вместе означают . Итак, ОДЗ:
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
На ОДЗ произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Первый случай: , то есть .
Второй случай: . Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому на ОДЗ равенство логарифмов равносильно равенству аргументов:
На ОДЗ , поэтому , то есть .
Получили двух кандидатов: и . Каждый из них — корень уравнения тогда и только тогда, когда он удовлетворяет ОДЗ.
Кандидат . Условие выполнено. Условие даёт , то есть .
Кандидат . Условие : , , . Условие : . При это — верно всегда, при это , то есть . Вместе получаем . Итак, — корень при .
Совпадение кандидатов. при , то есть при .
Разберём все значения параметра.
При ни один кандидат не подходит — корней нет.
При подходит только — один корень.
При подходят оба кандидата, и они различны — два корня.
При оба кандидата подходят, но совпадают: — один корень.
При подходит только — один корень.
При ни один кандидат не подходит — корней нет.
Ответ: .