ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен:

$$\{\begin{array}{l}x+a⩾0,\\ x-3a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\ln (x-3a)$:

$$\sqrt{x+a}\cdot \ln (x-3a)-(x-1)\cdot \ln (x-3a)=0;\ln (x-3a)\cdot \left(\sqrt{x+a}-(x-1)\right)=0.$$

На ОДЗ оба множителя определены, а произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Нас интересуют только корни на отрезке $[0;1]$, поэтому уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (x-3a)=0,\\ x+a⩾0,\\ 0⩽x⩽1,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\sqrt{x+a}=x-1,\\ x-3a>0,\\ 0⩽x⩽1.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $x-3a>0$ не пишем: из $\ln (x-3a)=0$ следует $x-3a=1>0$. Во второй системе не пишем $x+a⩾0$: оно будет обеспечено равенством $x+a=(x-1{)}^2$ после возведения в квадрат.

Первая система. $\ln (x-3a)=0$ означает $x-3a=1$, то есть $x=3a+1$. Подставим в остальные условия:

$$\{\begin{array}{l}3a+1+a⩾0,\\ 0⩽3a+1⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a⩾-\frac{1}{4},\\ -\frac{1}{3}⩽a⩽0\end{array}\iff -\frac{1}{4}⩽a⩽0.$$

Значит, при $-\frac{1}{4}⩽a⩽0$ число $x=3a+1$ — корень уравнения, лежащий на отрезке $[0;1]$, а при остальных $a$ первая система решений не имеет.

Вторая система. Уравнение $\sqrt{x+a}=x-1$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}x+a=(x-1{)}^2,\\ x-1⩾0,\end{array}$$

так как арифметический корень неотрицателен. Вместе с условием $0⩽x⩽1$ неравенство $x⩾1$ оставляет единственную возможность $x=1$. Тогда $1+a=0$, то есть $a=-1$. Проверим оставшееся условие: $x-3a=1+3=4>0$ — выполнено. Значит, вторая система имеет решение только при $a=-1$, и это $x=1$.

Подсчёт корней. Каждая система даёт не больше одного корня. Первая даёт корень при $a\in \left[-\frac{1}{4};0\right]$, вторая — при $a=-1$. Эти множества значений параметра не пересекаются, поэтому два корня одновременно не появляются ни при каком $a$, и совпадение корней разбирать не нужно. Следовательно, ровно один корень на отрезке $[0;1]$ уравнение имеет при $a=-1$ и при $-\frac{1}{4}⩽a⩽0$, а при остальных $a$ корней на отрезке нет.

Проверим граничные значения. При $a=-1$ корень $x=1$, а $x=3a+1=-2$ на отрезок не попадает. При $a=-\frac{1}{4}$ корень $x=\frac{1}{4}$, и $x+a=0$ — корень из нуля определён. При $a=0$ корень $x=1$, а второе уравнение $\sqrt{x}=x-1$ даёт $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$, вне отрезка.

Ответ: $a\in \{-1\}\cup \left[-\frac{1}{4};0\right]$.