ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Преобразуем второе уравнение: $|y|=2x-x^2$. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть должна быть неотрицательной, и при этом условии $y$ равен правой части или противоположному ей числу:

$$|y|=2x-x^2\iff \{\begin{array}{l}2x-x^2⩾0,\\ [\begin{array}{l}y=2x-x^2,\\ y=x^2-2x.\end{array}\end{array}$$

Неравенство $x(2-x)⩾0$ выполняется при $0⩽x⩽2$. Обозначим через $S$ множество точек, удовлетворяющих второму уравнению. Оно состоит из двух дуг парабол над отрезком $[0;2]$: верхней дуги $y=2x-x^2=1-(x-1{)}^2$ с вершиной $(1;1)$ и нижней дуги $y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ с вершиной $(1;-1)$. Дуги соединяются в точках $(0;0)$ и $(2;0)$. Все точки $S$ лежат не ниже прямой $y=-1$, а на самой прямой лежит только точка $(1;-1)$.

Первое уравнение $y=|x-a|-1$ задаёт уголок с вершиной $(a;-1)$, ветви которого направлены вверх: левая ветвь $y=-x+a-1$ при $x⩽a$ и правая ветвь $y=x-a-1$ при $x⩾a$. При изменении $a$ вершина скользит по прямой $y=-1$. Решения системы — общие точки уголка и множества $S$.

Симметрия. Заменим $x$ на $2-x$. Второе уравнение не изменится: $(2-x{)}^2-2(2-x)=x^2-2x$. Первое примет вид $y=|2-x-a|-1=|x-(2-a)|-1$, то есть станет уравнением с параметром $2-a$. Значит, $(x;y)$ — решение системы при значении $a$ тогда и только тогда, когда $(2-x;y)$ — решение при значении $2-a$. Поэтому при $a$ и при $2-a$ число решений одинаково. Разберём случай $a⩽1$, а затем отразим результат относительно $a=1$.

Пусть $a⩽1$. Найдём общие точки каждой ветви с каждой дугой. Корень $x$ соответствующего уравнения даёт общую точку, если $0⩽x⩽2$ и $x$ лежит на нужной ветви.

Левая ветвь и нижняя дуга. Приравняем: $x^2-2x=-x+a-1$, то есть $x^2-x+1-a=0$. Дискриминант $D=1-4(1-a)=4a-3$.

При $a<\frac{3}{4}$ корней нет. При $a=\frac{3}{4}$ корень один: $x=\frac{1}{2}$, и он подходит, так как $\frac{1}{2}⩽\frac{3}{4}$. Это положение (1): левая ветвь касается нижней дуги в точке $\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{4}\right)$.

При $\frac{3}{4}<a⩽1$ корни $x=\frac{1\pm \sqrt{4a-3}}{2}$. Так как $0<\sqrt{4a-3}⩽1$, оба корня лежат на отрезке $[0;1]$. Оба не больше $a$: для большего корня неравенство $\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}⩽a$ равносильно $\sqrt{4a-3}⩽2a-1$, а после возведения в квадрат (обе части неотрицательны) — неравенству $4a^2-8a+4⩾0$, то есть $4(a-1{)}^2⩾0$, которое верно всегда. Значит, общих точек две (при $a=1$ это $(0;0)$ и $(1;-1)$).

Левая ветвь и верхняя дуга. Приравняем: $2x-x^2=-x+a-1$, то есть $x^2-3x+a-1=0$. При $a<1$ произведение корней $a-1$ отрицательно, поэтому один корень отрицателен, а второй больше $3$ (сумма корней равна $3$). На отрезке $[0;2]$ корней нет. При $a=1$ корни $0$ и $3$, подходит только точка $(0;0)$, которую мы уже учли.

Правая ветвь и верхняя дуга. Приравняем: $2x-x^2=x-a-1$, то есть $x^2-x-a-1=0$. Дискриминант $D=1+4(a+1)=4a+5$.

При $a<-\frac{5}{4}$ корней нет. При $a=-\frac{5}{4}$ корень один, $x=\frac{1}{2}⩾a$: правая ветвь касается верхней дуги в точке $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$.

При $-\frac{5}{4}<a⩽1$ корни $x_{1,2}=\frac{1\mp \sqrt{4a+5}}{2}$. Больший корень $x_2$ подходит всегда. Действительно, $\sqrt{4a+5}⩽3$, поэтому $x_2⩽2$. Кроме того, при $a<-1$ имеем $x_2>\frac{1}{2}>a$, а при $a⩾-1$ имеем $\sqrt{4a+5}⩾1$, откуда $x_2⩾1⩾a$. Меньший корень $x_1$ неотрицателен только при $\sqrt{4a+5}⩽1$, то есть при $a⩽-1$; тогда $x_1⩾0>a$, и он тоже подходит. Итак, при $-\frac{5}{4}<a⩽-1$ общих точек две (при $a=-1$ это $(0;0)$ и $(1;1)$), а при $-1<a⩽1$ — одна.

Правая ветвь и нижняя дуга. Приравняем: $x^2-2x=x-a-1$, то есть $x^2-3x+a+1=0$. Дискриминант $D=9-4(a+1)=5-4a⩾1$, корни $x_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{5-4a}}{2}$.

Больший корень $x_2⩾\frac{3+1}{2}=2$, поэтому он подходит только при $x_2=2$, то есть при $a=1$ (точка $(2;0)$). Меньший корень $x_1⩽1$ неотрицателен при $\sqrt{5-4a}⩽3$, то есть при $a⩾-1$. Условие $x_1⩾a$ равносильно $3-2a⩾\sqrt{5-4a}$; левая часть положительна, и после возведения в квадрат получаем $4a^2-8a+4⩾0$, то есть снова $4(a-1{)}^2⩾0$. Значит, при $a<-1$ общих точек нет, а при $-1⩽a⩽1$ есть точка с абсциссой $x_1$ (при $a=-1$ это $(0;0)$, при $a=1$ — точка $(1;-1)$, и тогда добавляется ещё $(2;0)$).

Подсчёт при $a⩽1$. Точки на разных ветвях совпадают только в вершине уголка $(a;-1)$, а она лежит на $S$ лишь при $a=1$. Точки на разных дугах совпадают только в $(0;0)$ и $(2;0)$.

При $a<-\frac{5}{4}$ решений нет.

При $a=-\frac{5}{4}$ — одно решение (касание правой ветви и верхней дуги).

При $-\frac{5}{4}<a<-1$ — две точки правой ветви на верхней дуге, два решения.

При $a=-1$ — точки $(0;0)$ и $(1;1)$, два решения.

При $-1<a<\frac{3}{4}$ — одна точка правой ветви на верхней дуге и одна на нижней, два решения. Они различны: на верхней дуге $y⩾0$, на нижней $y⩽0$, а общие точки дуг $(0;0)$ и $(2;0)$ лежат на правой ветви только при $a=-1$ и $a=1$.

При $a=\frac{3}{4}$ — точка касания $\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{4}\right)$ и две точки правой ветви, три решения.

При $\frac{3}{4}<a<1$ — две точки левой ветви на нижней дуге и две точки правой ветви, четыре решения.

При $a=1$ вершина уголка совпадает с вершиной нижней дуги (положение (2)), общие точки — $(0;0)$, $(1;-1)$ и $(2;0)$, три решения.

Значения $a>1$. По симметрии число решений при $a>1$ такое же, как при $2-a<1$. Значению $a=\frac{3}{4}$ соответствует $a=2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ — положение (3), в котором правая ветвь касается нижней дуги. Проверим это прямо: у уравнения $x^2-3x+a+1=0$ дискриминант $5-4a$ равен нулю при $a=\frac{5}{4}$, корень $x=\frac{3}{2}⩾\frac{5}{4}$, точка касания $\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4}\right)$. Интервалу $\frac{3}{4}<a<1$ соответствует интервал $1<a<\frac{5}{4}$ — на нём тоже **четыре решения**. При остальных $a>1$ решений меньше четырёх, потому что меньше четырёх их при соответствующих $2-a<1$.

Изобразим множество $S$ и граничные положения уголка при $a=\frac{3}{4}$ и $a=\frac{5}{4}$ (пунктир) с точками касания.

При $a$ между этими положениями (кроме $a=1$) каждая ветвь пересекает $S$ дважды, и решений ровно четыре.

Ответ: $a\in \left(\frac{3}{4};1\right)\cup \left(1;\frac{5}{4}\right)$.