ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Найдём ограничения. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным, а под корнем в знаменателе — строго положительным, так как знаменатель не может обращаться в нуль:

$$\{\begin{array}{l}x+5⩾0,\\ 5-x>0\end{array}\iff -5⩽x<5.$$

При этих условиях знаменатель $\sqrt{5-x}$ положителен, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Значит, первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}{y}^2-7y-xy+4x+12=0,\\ \sqrt{x+5}=0,\end{array}\\ -5⩽x<5.\end{array}$$

Разложим многочлен на множители. Запишем $-7y=-4y-3y$ и сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе появился множитель $y-4$:

$$y^2-4y-3y+12-xy+4x=y(y-4)-3(y-4)-x(y-4)=(y-4)(y-x-3).$$

Значит, уравнение $y^2-7y-xy+4x+12=0$ равносильно совокупности $y=4$ или $y=x+3$, а уравнение $\sqrt{x+5}=0$ даёт $x=-5$. С учётом ограничения $-5⩽x<5$ первое уравнение задаёт множество $S$ из трёх частей.

Первая часть — отрезок прямой $y=4$ с концами $B(-5;4)$ (входит в множество) и $(5;4)$ (выколот).

Вторая часть — отрезок прямой $y=x+3$ с концами $A(-5;-2)$ (входит) и $(5;8)$ (выколот).

Третья часть — вся вертикальная прямая $x=-5$: при $x=-5$ числитель равен нулю при любом $y$, а знаменатель равен $\sqrt{10}\ne 0$.

Отрезки пересекаются в точке $C(1;4)$: из $x+3=4$ получаем $x=1$. Прямая $x=-5$ проходит через концы $A$ и $B$.

Второе уравнение запишем в виде $y=-x+a$. Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$; с ростом $a$ прямая сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек прямой $y=-x+a$ с множеством $S$. Найдём общие точки с каждой частью отдельно.

Прямая $x=-5$. Прямая $y=-x+a$ не вертикальна, поэтому пересекает её ровно в одной точке $(-5;a+5)$ при любом $a$.

Отрезок $y=x+3$. Из $-x+a=x+3$ получаем $x=\frac{a-3}{2}$. Точка лежит на отрезке, если

$$-5⩽\frac{a-3}{2}<5\iff -10⩽a-3<10\iff -7⩽a<13.$$

Отрезок $y=4$. Из $-x+a=4$ получаем $x=a-4$. Точка лежит на отрезке, если

$$-5⩽a-4<5\iff -1⩽a<9.$$

Точки на разных частях могут совпасть только в общих точках этих частей, то есть в $A$, $B$ или $C$. Найдём, при каких $a$ прямая проходит через них.

Через $A(-5;-2)$: $-2=5+a$, $a=-7$ (положение I).

Через $B(-5;4)$: $4=5+a$, $a=-1$ (положение II).

Через $C(1;4)$: $4=-1+a$, $a=5$ (положение III).

Ещё два граничных положения — прохождение через выколотые концы $(5;4)$ и $(5;8)$: $4=-5+a$, $a=9$ (положение IV) и $8=-5+a$, $a=13$ (положение V). В этих положениях соответствующей общей точки уже нет.

Изобразим множество $S$ (жирные линии) и граничные положения прямой (пунктир).

Разберём все случаи.

При $a<-7$ прямая пересекает только прямую $x=-5$ — одно решение.

При $a=-7$ прямая проходит через $A$: её точка на прямой $x=-5$ и точка на отрезке $y=x+3$ совпадают, а с отрезком $y=4$ общих точек нет. Одно решение.

При $-7<a<-1$ есть точка на прямой $x=-5$ и точка на отрезке $y=x+3$, и они различны — два решения.

При $a=-1$ общая точка с отрезком $y=4$ — это $B(-5;4)$, она же лежит на прямой $x=-5$. Ещё одна точка — на отрезке $y=x+3$ при $x=\frac{-1-3}{2}=-2$, это $(-2;1)$. Итого два решения.

При $-1<a<5$ прямая пересекает все три части в трёх различных точках — три решения.

При $a=5$ точки на обоих отрезках совпадают с $C(1;4)$, ещё одна точка — $(-5;10)$ на прямой $x=-5$. Итого два решения.

При $5<a<9$ снова три различные точки — три решения.

При $9⩽a<13$ общих точек с отрезком $y=4$ нет (при $a=9$ прямая проходит через выколотую точку $(5;4)$), остаются точка на прямой $x=-5$ и точка на отрезке $y=x+3$ — два решения.

При $a⩾13$ остаётся только точка на прямой $x=-5$ — одно решение.

Ответ: $a\in (-7;-1]\cup \{5\}\cup [9;13)$.