ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Симметрия. Если заменить $x$ на $-x$, оба уравнения не изменятся: $|-x|=|x|$, $(-x{)}^2=x^2$. Значит, вместе с решением $(x_0;y_0)$ система имеет и решение $(-x_0;y_0)$. При $x_0\ne 0$ это два разных решения. Поэтому если решение единственное, то у него $x_0=0$.

Необходимое условие. Подставим $x=0$. Второе уравнение даёт $y^2=1$, то есть $y=\pm 1$. Первое:

$$3\cdot 2^0+5\cdot 0+4=3y+5\cdot 0+3a;7=3y+3a.$$

При $y=1$ получаем $3a=4$, $a=\frac{4}{3}$. При $y=-1$ получаем $3a=10$, $a=\frac{10}{3}$.

Других кандидатов нет, но это условие только необходимое: при найденных $a$ у системы могут быть и решения с $x\ne 0$. Проверим оба значения.

Значение $a=\frac{10}{3}$. Первое уравнение: $3\cdot 2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+10$. Подставим $x=1$, $y=0$: слева $6+5+4=15$, справа $0+5+10=15$ — верно, и точка $(1;0)$ лежит на окружности $x^2+y^2=1$. Значит, решениями являются $(1;0)$, $(-1;0)$ и $(0;-1)$ — их больше одного. Не подходит.

Значение $a=\frac{4}{3}$. Первое уравнение: $3\cdot 2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+4$. Выразим $y$:

$$y=2^{|x|}+\frac{5}{3}\left(|x|-x^2\right)=2^{|x|}+\frac{5}{3}|x|\left(1-|x|\right).$$

Из второго уравнения $x^2⩽1$ и $y^2⩽1$, то есть $|x|⩽1$ и $y⩽1$.

При $|x|⩽1$ слагаемое $\frac{5}{3}|x|\left(1-|x|\right)⩾0$, а $2^{|x|}⩾2^0=1$, причём $2^{|x|}=1$ только при $x=0$. Значит, $y⩾1$, и равенство возможно только при $x=0$.

Вместе с условием $y⩽1$ получаем $y=1$ и $x=0$. Точка $(0;1)$ действительно удовлетворяет обоим уравнениям: $3+4=3\cdot 1+4$ и $0+1=1$. Решение единственное — значение $a=\frac{4}{3}$ подходит.

Ответ: $a=\frac{4}{3}$.