ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Область определения. Подкоренное выражение неотрицательно: $2x-x^2=x(2-x)⩾0$, то есть $0⩽x⩽2$.

Замена. Пусть $t=\sqrt{2x-x^2}$. Тогда ${\left(2x-x^2\right)}^2=t^4$, и уравнение принимает вид

$$t^4-4t=a^2-4a.$$

Какие значения принимает $t$. Выделим полный квадрат: $2x-x^2=1-(x-1{)}^2$. На отрезке $[0;2]$ это выражение непрерывно, равно $0$ на концах и $1$ при $x=1$, поэтому принимает все значения от $0$ до $1$ и только их. Значит, $t$ принимает все значения из отрезка $[0;1]$: каждому $t\in [0;1]$ соответствует хотя бы одно $x$ (а именно $x=1\pm \sqrt{1-t^2}$).

Исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение $t^4-4t=a^2-4a$ имеет корень на отрезке $[0;1]$.

Исследуем функцию $g(t)=t^4-4t$ на отрезке $[0;1]$. Её производная

$$g^{\prime }(t)=4t^3-4=4\left(t^3-1\right)⩽0\text{при}0⩽t⩽1,$$

причём равенство нулю только при $t=1$. Значит, $g$ убывает на $[0;1]$ от $g(0)=0$ до $g(1)=1-4=-3$. Непрерывная функция принимает все промежуточные значения, поэтому множество значений $g$ на отрезке — это $[-3;0]$.

Решение есть тогда и только тогда, когда

$$-3⩽a^2-4a⩽0\iff \{\begin{array}{l}a(a-4)⩽0,\\ a^2-4a+3⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0⩽a⩽4,\\ (a-1)(a-3)⩾0.\end{array}$$

Второе неравенство даёт $a⩽1$ или $a⩾3$. Пересечём с отрезком $[0;4]$:

Ответ: $a\in [0;1]\cup [3;4]$.