ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Заметим, что $(x-y{)}^2+2xy=x^2+y^2$. Тогда уравнение принимает вид

$$x^2+y^2+2ax-2ay=a^2-16+(3a-8{)}^2=a^2-16+9a^2-48a+64=10a^2-48a+48.$$

Прибавим к обеим частям $2a^2$ и выделим полные квадраты:

$$(x+a{)}^2+(y-a{)}^2=12a^2-48a+48=12(a-2{)}^2.$$

При $a\ne 2$ это окружность $\omega$ с центром $(-a;a)$ и радиусом $R=2\sqrt{3}|a-2|$.

Второе уравнение $|xy|=a^2$ равносильно совокупности $xy=a^2$ или $xy=-a^2$.

Случай $a=0$. Получаем $x^2+y^2=48$ и $xy=0$, то есть $x=0$ или $y=0$. Каждая ось пересекает окружность в двух точках — решений четыре. Не подходит.

Случай $a=2$. Первое уравнение задаёт одну точку $(-2;2)$, решений не больше одного. Не подходит.

Далее $a\ne 0$, $a\ne 2$. Обозначим $s=|a|>0$. Гипербола $xy=s^2$ имеет ветви в I и III четвертях с вершинами $C(s;s)$ и $D(-s;-s)$, гипербола $xy=-s^2$ — ветви во II и IV четвертях с вершинами $A(-s;s)$ и $B(s;-s)$. Будем называть ветви по их вершинам. Ветви лежат в разных четвертях и общих точек не имеют, поэтому число решений равно сумме количеств общих точек окружности с каждой ветвью.

Нам понадобятся два факта.

Если точка ветви лежит внутри окружности, то ветвь имеет с окружностью не меньше двух общих точек: от этой точки ветвь уходит в бесконечность в обе стороны и на каждом пути должна выйти из круга.

Окружность и гипербола $xy=s^2$ (ветви $C$ и $D$ вместе) имеют не больше четырёх общих точек: если подставить $y=\frac{s^2}{x}$ в уравнение окружности и умножить на $x^2$, получится уравнение четвёртой степени относительно $x$, у него не больше четырёх корней.

Случай $a>0$. Тогда $s=a$, и центр окружности $(-a;a)$ совпадает с вершиной $A$.

Ветвь $A$ — это $y=-\frac{a^2}{x}$ при $x<0$. При $x<-a$ с уменьшением $x$ растёт $|x+a|$, а $y=\frac{a^2}{|x|}$ убывает, оставаясь меньше $a$, поэтому растёт и $|y-a|$. При $-a<x<0$ с ростом $x$ растёт $|x+a|$, а $y$ растёт, оставаясь больше $a$. Значит, при движении от $A$ в любую сторону расстояние до $A$ строго возрастает от $0$ до бесконечности, и на каждой половине ветви ровно одна точка на расстоянии $R$. На ветви $A$ ровно две точки окружности.

Ветвь $B$ — это $y=-\frac{a^2}{x}$ при $x>0$. Рассмотрим прямую $y=x-2a$. Ветвь лежит не выше неё:

$$-\frac{a^2}{x}⩽x-2a\iff -a^2⩽x^2-2ax\iff (x-a{)}^2⩾0$$

(умножили на $x>0$), причём равенство только при $x=a$, то есть в точке $B$. Расстояние от $A(-a;a)$ до прямой $x-y-2a=0$ равно

$$\frac{|-a-a-2a|}{\sqrt{2}}=\frac{4a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}a=AB.$$

Значит, все точки на прямой и по другую сторону от неё удалены от $A$ не меньше чем на $2\sqrt{2}a$, а точки ветви $B$, кроме самой $B$, — строго больше.

Если $R<2\sqrt{2}a$, окружность с ветвью $B$ общих точек не имеет. Если $R=2\sqrt{2}a$, общая точка ровно одна — сама $B$. Если $R>2\sqrt{2}a$, точка $B$ внутри окружности, и общих точек не меньше двух.

Ветви $C$ и $D$. Их вершины удалены от $A$ на $AC=AD=2a$.

Если $R⩾2\sqrt{2}a$, то $R>2a$, точки $C$ и $D$ лежат внутри окружности, и на каждой из ветвей $C$, $D$ не меньше двух общих точек. Вместе с двумя точками на ветви $A$ и хотя бы одной на ветви $B$ получаем не меньше $2+2+2+1=7$ решений.

Если $R<2\sqrt{2}a$, на ветви $B$ точек нет, на ветви $A$ их две, а на ветвях $C$ и $D$ вместе не больше четырёх. Всего не больше шести решений.

Для случая $a=6-2\sqrt{6}$ рисунок ниже показывает граничное положение: окружность с центром $A$ проходит через $B$ и касается в ней прямой $y=x-2a$.

Итак, при $a>0$ нужно $R⩾AB$:

$$2\sqrt{3}|a-2|⩾2\sqrt{2}a\iff \sqrt{3}|a-2|⩾\sqrt{2}a.$$

Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

$$3(a-2{)}^2⩾2a^2;a^2-12a+12⩾0;a⩽6-2\sqrt{6}\text{или}a⩾6+2\sqrt{6}.$$

Число $6-2\sqrt{6}$ положительно ($36>24$) и меньше $2$, поэтому с учётом $a>0$ получаем $a\in \left(0;6-2\sqrt{6}\right]\cup \left[6+2\sqrt{6};+\infty \right)$; значение $a=2$ сюда не входит.

Случай $a<0$. Тогда $s=-a$, а центр окружности $(-a;a)=(s;-s)$ совпадает с вершиной $B$. Радиус $R=2\sqrt{3}(2-a)=2\sqrt{3}(2+s)$.

Так же, как выше, ветвь $B$, проходящая через центр, даёт ровно две общие точки. Вершины остальных ветвей удалены от $B$ на $BC=BD=2s$ и $BA=2\sqrt{2}s$, а

$$R=2\sqrt{3}(2+s)>2\sqrt{3}s>2\sqrt{2}s.$$

Значит, точки $A$, $C$, $D$ лежат внутри окружности, каждая из ветвей $A$, $C$, $D$ даёт не меньше двух точек, и решений не меньше $2+2+2+2=8$. Подходит любое $a<0$.

Объединим найденные значения.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left(0;6-2\sqrt{6}\right]\cup \left[6+2\sqrt{6};+\infty \right)$.