ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x-a>0$ (аргумент логарифма) и $x+2a⩾0$ (подкоренное выражение).

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\ln (x-a)$:

$$\ln (x-a)\cdot \left(\sqrt{x+2a}-(x-1)\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а оба множителя имеют смысл. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (x-a)=0,\\ x+2a⩾0,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\sqrt{x+2a}=x-1,\\ x-a>0.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $x-a>0$ выполнено автоматически (из уравнения $x-a=1$), во второй условие $x+2a⩾0$ следует из существования корня.

Первая система. $\ln (x-a)=0\iff x-a=1\iff x=a+1$. Условие $x+2a⩾0$ даёт $3a+1⩾0$, то есть $a⩾-\frac{1}{3}$. Корень лежит на отрезке $[0;1]$, если

$$0⩽a+1⩽1\iff -1⩽a⩽0.$$

Итак, корень $x=a+1$, лежащий на отрезке, есть при $-\frac{1}{3}⩽a⩽0$.

Вторая система. Корень неотрицателен, поэтому нужно $x-1⩾0$, то есть $x⩾1$. На отрезке $[0;1]$ это возможно только при $x=1$. Подставим: $\sqrt{1+2a}=0$, откуда $a=-\frac{1}{2}$. Условие $x-a=1+\frac{1}{2}>0$ выполнено. Значит, корень $x=1$ второй системы лежит на отрезке только при $a=-\frac{1}{2}$; остальные её корни больше $1$ и на отрезок не попадают.

Совпадения. Корни совпадают, если $a+1=1$, то есть при $a=0$, но при $a=0$ вторая система корня на отрезке не даёт. А при $a=-\frac{1}{2}$ первая система корня не даёт, так как $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$ (действительно, $x=\frac{1}{2}$, а $x+2a=-\frac{1}{2}<0$).

На плоскости $(x;a)$ корни на отрезке $[0;1]$ — это отрезок прямой $x=a+1$ при $-\frac{1}{3}⩽a⩽0$ и отдельная точка $\left(1;-\frac{1}{2}\right)$:

При каждом $a$ на отрезке не больше одного корня, и ровно один корень есть при $-\frac{1}{3}⩽a⩽0$ и при $a=-\frac{1}{2}$:

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[-\frac{1}{3};0\right]$.