ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Перепишем его в виде $3y^2-10xy+3x^2=0$ и решим как квадратное относительно $y$:

$$D=100x^2-4\cdot 3\cdot 3x^2=64x^2;y=\frac{10x\pm 8x}{6},$$

то есть $y=3x$ или $y=\frac{x}{3}$. Значит, $3x^2-10xy+3y^2=(3x-y)(x-3y)$, и первое уравнение задаёт пару прямых

$$l_1:y=3x,l_2:y=\frac{x}{3},$$

пересекающихся только в начале координат $O(0;0)$.

Второе уравнение. При $a=0$ получаем $x^2+y^2=0$, то есть одну точку $(0;0)$. Она лежит на обеих прямых, и система имеет одно решение — значение $a=0$ не подходит.

При $a\ne 0$ второе уравнение задаёт окружность с центром $C(a;a)$ и радиусом $R=\sqrt{10}{a}^2$.

Симметрия. Замена $(x;y)\to (y;x)$ — это симметрия относительно прямой $y=x$. Она переводит прямую $l_1$ в прямую $l_2$ (из $y=3x$ получается $x=3y$), а окружность — в себя, потому что центр $C(a;a)$ лежит на прямой $y=x$. Значит, прямые $l_1$ и $l_2$ имеют с окружностью одинаковое число общих точек.

Расстояние от центра до прямых. Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Для прямой $3x-y=0$ и точки $C(a;a)$:

$$d=\frac{|3a-a|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{2|a|}{\sqrt{10}}.$$

Для прямой $x-3y=0$ получается то же самое: $\frac{|a-3a|}{\sqrt{10}}=\frac{2|a|}{\sqrt{10}}$.

Сравним $d$ с радиусом:

$$\frac{2|a|}{\sqrt{10}}<\sqrt{10}{a}^2\iff 2|a|<10a^2\iff 1<5|a|\iff |a|>\frac{1}{5}$$

(делили на $2|a|>0$). Аналогично $d=R$ при $|a|=\frac{1}{5}$ и $d>R$ при $0<|a|<\frac{1}{5}$.

Разбор случаев.

При $0<|a|<\frac{1}{5}$ обе прямые не пересекают окружность — решений нет.

При $|a|>\frac{1}{5}$ каждая прямая пересекает окружность в двух точках. Решений четыре, а если окружность проходит через общую точку прямых $O$, то три. В обоих случаях больше двух — не подходит. (Через $O$ окружность проходит при $a^2+a^2=10a^4$, то есть при $a^2=\frac{1}{5}$.)

При $|a|=\frac{1}{5}$ каждая прямая касается окружности — по одной общей точке на каждой прямой. Эти точки различны: совпасть они могли бы только в точке $O$, но $O$ на окружности не лежит, так как

$$CO=|a|\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{5}=\frac{5\sqrt{2}}{25},R=\sqrt{10}\cdot \frac{1}{25}=\frac{\sqrt{10}}{25},$$

а $5\sqrt{2}=\sqrt{50}\ne \sqrt{10}$. Значит, решений ровно два.

Ответ: $a=\pm \frac{1}{5}$.