ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Раскроем скобки, учитывая, что $(0,5-a{)}^2=(a-0,5{)}^2$:

$$x^2-12x+36+y^2+12y+36=(a-0,5{)}^2-2x-2y-2;$$

$$x^2-10x+y^2+14y+74=(a-0,5{)}^2.$$

Выделим полные квадраты: $x^2-10x=(x-5{)}^2-25$, $y^2+14y=(y+7{)}^2-49$, и $-25-49+74=0$. Получаем

$$(x-5{)}^2+(y+7{)}^2=(a-0,5{)}^2.$$

При $a\ne 0,5$ это окружность с центром $O(5;-7)$ и радиусом $R=|a-0,5|$. При $a=0,5$ уравнению удовлетворяет только точка $O$, но она не удовлетворяет второму уравнению: $|5+2|-|1+14|=-8\ne 3$. Поэтому при $a=0,5$ решений нет.

Второе уравнение. Запишем его в виде

$$|2y-1|=|x+2|-3.$$

При $y⩾\frac{1}{2}$ получаем $2y-1=|x+2|-3$, то есть

$$y=\frac{1}{2}|x+2|-1.$$

Это «уголок» с вершиной $(-2;-1)$ и ветвями вверх с наклонами $\pm \frac{1}{2}$; от него берём часть, где $y⩾\frac{1}{2}$.

При $y<\frac{1}{2}$ получаем $1-2y=|x+2|-3$, то есть

$$y=2-\frac{1}{2}|x+2|.$$

Это «уголок» с вершиной $(-2;2)$ и ветвями вниз; от него берём часть, где $y<\frac{1}{2}$.

Оба уголка пересекают прямую $y=\frac{1}{2}$ там, где $|x+2|=3$, то есть при $x=1$ и $x=-5$. Обозначим $P\left(1;\frac{1}{2}\right)$ и $Q\left(-5;\frac{1}{2}\right)$. Раскрыв модуль $|x+2|$, получаем, что график второго уравнения состоит из четырёх лучей:

$${\ell }_1:y=1-\frac{x}{2},x⩾1;{\ell }_2:y=\frac{x}{2},x⩾1;$$

$${\ell }_3:y=-\frac{x}{2}-2,x⩽-5;{\ell }_4:y=\frac{x}{2}+3,x⩽-5.$$

Лучи ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ выходят из точки $P$, лучи ${\ell }_3$, ${\ell }_4$ — из точки $Q$; других общих точек у лучей нет.

Нужно найти, при каких радиусах окружность с центром $O$ имеет с этими лучами ровно четыре общие точки.

Как считать точки на луче. Пусть точка с абсциссой $x$ лежит на прямой луча; обозначим $d^2(x)$ квадрат её расстояния до $O$. Это квадратный трёхчлен от $x$ с положительным старшим коэффициентом. Точки окружности на луче — это решения уравнения $d^2(x)=R^2$ с абсциссами из промежутка луча.

Луч ${\ell }_1$. Подставим $y=1-\frac{x}{2}$:

$$d^2(x)=(x-5{)}^2+{\left(8-\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}{x}^2-18x+89.$$

Вершина параболы — при $x=\frac{18}{2\cdot \frac{5}{4}}=7,2$, это ближайшая к $O$ точка прямой, она лежит на луче ($7,2⩾1$). Наименьшее значение $d^2(7,2)=64,8-129,6+89=24,2=\frac{121}{5}$, то есть расстояние от $O$ до прямой равно $\frac{11}{\sqrt{5}}$. В начале луча $d^2(1)=\frac{5}{4}-18+89=72,25$, то есть $OP=8,5$.

Значит, на луче ${\ell }_1$: нет точек при $R<\frac{11}{\sqrt{5}}$, одна (касание в точке $(7,2;-2,6)$) при $R=\frac{11}{\sqrt{5}}$, две при $\frac{11}{\sqrt{5}}<R⩽8,5$ и одна при $R>8,5$ (вторая точка прямой уходит за начало луча).

Луч ${\ell }_2$. Подставим $y=\frac{x}{2}$:

$$d^2(x)=(x-5{)}^2+{\left(\frac{x}{2}+7\right)}^2=\frac{5}{4}{x}^2-3x+74.$$

Вершина — при $x=\frac{3}{2\cdot \frac{5}{4}}=1,2$, она тоже лежит на луче. Наименьшее значение $d^2(1,2)=1,8-3,6+74=72,2=\frac{361}{5}$, то есть расстояние до прямой равно $\frac{19}{\sqrt{5}}=3,8\sqrt{5}\approx 8,497$. В начале луча $d^2(1)=72,25$.

На луче ${\ell }_2$: нет точек при $R<3,8\sqrt{5}$, одна при $R=3,8\sqrt{5}$, две при $3,8\sqrt{5}<R⩽8,5$ и одна при $R>8,5$. Заметим, что $3,8\sqrt{5}=\sqrt{72,2}<\sqrt{72,25}=8,5$ — касание происходит чуть раньше, чем окружность дойдёт до точки $P$.

Луч ${\ell }_3$. Подставим $y=-\frac{x}{2}-2$:

$$d^2(x)=(x-5{)}^2+{\left(5-\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}{x}^2-15x+50.$$

Вершина — при $x=6$, вне луча $x⩽-5$. На луче трёхчлен убывает при движении к точке $Q$, поэтому расстояние от $O$ растёт от $OQ$ до бесконечности при удалении от $Q$. Здесь $d^2(-5)=31,25+75+50=156,25$, $OQ=12,5$. На луче одна точка при $R⩾12,5$ и ни одной при $R<12,5$.

Луч ${\ell }_4$. Подставим $y=\frac{x}{2}+3$:

$$d^2(x)=(x-5{)}^2+{\left(\frac{x}{2}+10\right)}^2=\frac{5}{4}{x}^2+125.$$

Вершина — при $x=0$, вне луча; $d^2(-5)=156,25$. Как и для ${\ell }_3$: одна точка при $R⩾12,5$, иначе ни одной.

Граничные положения окружности. I — касание луча ${\ell }_1$, $R=\frac{11}{\sqrt{5}}$. II — касание луча ${\ell }_2$, $R=3,8\sqrt{5}$. III — окружность проходит через $P$, $R=8,5$. IV — окружность проходит через $Q$, $R=12,5$. На рисунке окружности II и III сливаются: их радиусы отличаются меньше чем на $0,003$.

Положения II и III в увеличенном виде:

Считаем общие точки при росте $R$. Точки $P$ и $Q$ — общие для двух лучей, их считаем один раз.

При $R<\frac{11}{\sqrt{5}}$ общих точек нет, при $R=\frac{11}{\sqrt{5}}$ — одна.

При $\frac{11}{\sqrt{5}}<R<3,8\sqrt{5}$ — две точки на ${\ell }_1$.

При $R=3,8\sqrt{5}$ — две точки на ${\ell }_1$ и точка касания на ${\ell }_2$, всего три.

При $3,8\sqrt{5}<R<8,5$ — по две точки на ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$, всего четыре. Подходит.

При $R=8,5$ на каждом из лучей ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ по две точки, но одна из них общая — $P$. Всего три.

При $8,5<R<12,5$ — по одной точке на ${\ell }_1$ и ${\ell }_2$, всего две.

При $R=12,5$ — две точки на ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ и точка $Q$, всего три.

При $R>12,5$ — по одной точке на каждом из четырёх лучей, всего четыре. Подходит.

Итак, система имеет ровно четыре решения при

$$3,8\sqrt{5}<|a-0,5|<8,5\text{или}|a-0,5|>12,5.$$

Решим первое двойное неравенство. Оно означает, что $a-0,5\in \left(3,8\sqrt{5};8,5\right)$ или $a-0,5\in \left(-8,5;-3,8\sqrt{5}\right)$:

$$a\in \left(-8;0,5-3,8\sqrt{5}\right)\cup \left(0,5+3,8\sqrt{5};9\right).$$

Второе неравенство: $a-0,5>12,5$ или $a-0,5<-12,5$, то есть $a>13$ или $a<-12$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-12)\cup \left(-8;0,5-3,8\sqrt{5}\right)\cup \left(0,5+3,8\sqrt{5};9\right)\cup (13;+\infty )$.