ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их попарно так, чтобы в каждой паре выделился множитель $x+1$:

$$a{x}^4+a{x}^3-2x^3-2x^2+(a^3-a)x^2+(a^3-a)x-(2a^2-2)x-(2a^2-2)=0;$$

$$a{x}^3(x+1)-2x^2(x+1)+(a^3-a)x(x+1)-2(a^2-1)(x+1)=0;$$

$$(x+1)\left(a{x}^3-2x^2+(a^3-a)x-2(a^2-1)\right)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем первое слагаемое с третьим и второе с четвёртым:

$$a{x}^3+(a^3-a)x=ax\left(x^2+a^2-1\right),-2x^2-2(a^2-1)=-2\left(x^2+a^2-1\right).$$

Значит, вторая скобка равна $(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right)$, и уравнение принимает вид

$$(x+1)(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ ax=2,\\ x^2+a^2=1.\end{array}$$

Все множители определены при любых $x$ и $a$, поэтому переход равносилен.

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством решений совокупности. Нужно, чтобы таких точек было ровно две.

1. Уравнение $x=-1$ задаёт вертикальную прямую.

2. В уравнении $ax=2$ значение $x=0$ невозможно, поэтому $a=\frac{2}{x}$ — гипербола.

3. Уравнение $x^2+a^2=1$ задаёт окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $1$.

Общие точки частей. Прямая и окружность: $1+a^2=1$, $a=0$ — точка $(-1;0)$, прямая касается окружности. Прямая и гипербола: $a=\frac{2}{-1}=-2$ — точка $(-1;-2)$. Гипербола и окружность общих точек не имеют: на окружности $|x|⩽1$ и $|a|⩽1$, поэтому $|ax|⩽1$ и равенство $ax=2$ невозможно.

Точки на горизонтальной прямой. Прямая $x=-1$ даёт корень $x=-1$ при любом $a$. Гипербола даёт корень $x=\frac{2}{a}$ при $a\ne 0$. Окружность даёт два корня $x=\pm \sqrt{1-a^2}$ при $|a|<1$, один корень $x=0$ при $|a|=1$ и ни одного при $|a|>1$. Корни могут совпасть только в точках $(-1;0)$ и $(-1;-2)$.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=1$ и $a=-1$ (касание окружности), $a=0$ (через точку $(-1;0)$, это ось абсцисс) и $a=-2$ (через точку $(-1;-2)$).

Разберём положения прямой сверху вниз.

При $a>1$ корни $-1$ и $\frac{2}{a}$ — два корня, подходит.

При $a=1$ корни $-1$, $2$ и $0$ — три.

При $0<a<1$ корни $-1$, $\frac{2}{a}$, $\sqrt{1-a^2}$, $-\sqrt{1-a^2}$ — четыре различных.

При $a=0$ гипербола корней не даёт, окружность даёт $x=\pm 1$, причём $x=-1$ совпадает с корнем от прямой. Корни $-1$ и $1$ — два, подходит.

При $-1<a<0$ снова четыре корня.

При $a=-1$ корни $-1$, $-2$ и $0$ — три.

При $-2<a<-1$ окружность корней не даёт, остаются $-1$ и $\frac{2}{a}\in (-2;-1)$ — два корня, подходит.

При $a=-2$ корень $\frac{2}{a}=-1$ совпадает с $x=-1$ — один корень.

При $a<-2$ корни $-1$ и $\frac{2}{a}\in (-1;0)$ — два, подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;-1)\cup \{0\}\cup (1;+\infty )$.