ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$u=1-(x+a+1{)}^2,v=2^{|x-a|}.$$

Так как $2^{3|x-a|}={\left(2^{|x-a|}\right)}^3=v^3$ и $2^{2|x-a|}=v^2$, уравнение принимает вид

$$u^3-u^2=v^3-v^2,u^2(u-1)=v^2(v-1).$$

Оценим левую часть. Квадрат неотрицателен: $(x+a+1{)}^2⩾0$, поэтому $u⩽1$, то есть $u-1⩽0$. Множитель $u^2⩾0$. Значит,

$$u^2(u-1)⩽0,$$

и равенство нулю достигается только при $u=0$ или $u=1$.

Оценим правую часть. Модуль неотрицателен: $|x-a|⩾0$. Функция $2^t$ возрастает, поэтому $v=2^{|x-a|}⩾2^0=1$, то есть $v-1⩾0$, а $v^2⩾1>0$. Значит,

$$v^2(v-1)⩾0,$$

и равенство нулю достигается только при $v=1$.

Левая часть не больше нуля, правая не меньше нуля. Они равны тогда и только тогда, когда обе равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}{u}^2(u-1)=0,\\ v^2(v-1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}u=0,\\ u=1,\end{array}\\ v=1.\end{array}$$

Значение $v=0$ отброшено, так как $v⩾1$.

Условие $v=1$. Получаем $2^{|x-a|}=1=2^0$, откуда $|x-a|=0$, то есть $x=a$. Значит, корнем может быть только $x=a$. Подставим $x=a$ в выражение для $u$:

$$u=1-(a+a+1{)}^2=1-(2a+1{)}^2.$$

Случай $u=1$. Тогда $(2a+1{)}^2=0$, $2a+1=0$, $a=-\frac{1}{2}$.

Случай $u=0$. Тогда $(2a+1{)}^2=1$, то есть $2a+1=1$ или $2a+1=-1$. Получаем $a=0$ или $a=-1$.

При каждом из этих трёх значений $x=a$ — корень уравнения: обе части обращаются в нуль. При остальных $a$ корней нет: при $x\ne a$ правая часть положительна, а при $x=a$ левая часть отрицательна.

Ответ: $a\in \left\{-1;-\frac{1}{2};0\right\}$.