ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ. Выражение под корнем в числителе неотрицательно, под корнем в знаменателе — положительно:

$$\{\begin{array}{l}x+4⩾0,\\ 4-x>0\end{array}\iff -4⩽x<4.$$

На ОДЗ дробь равна нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель: $x+4=0$ или $y^2-xy+3x-y-6=0$.

Разложим второе выражение на множители, сгруппировав слагаемые с $x$:

$$y^2-y-6-x(y-3)=(y-3)(y+2)-x(y-3)=(y-3)(y-x+2).$$

Значит, первое уравнение системы равносильно

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}x=-4,\\ y=3,\\ y=x-2,\end{array}\\ -4⩽x<4.\end{array}$$

На плоскости $(x;y)$ это вертикальная прямая $x=-4$ и отрезки прямых $y=3$ и $y=x-2$ при $-4⩽x<4$ (правые концы выколоты). Общих точек у этих отрезков нет: прямые $y=3$ и $y=x-2$ пересекаются при $x=5$. Второе уравнение задаёт прямую $y=-x-a$.

Удобнее перейти на плоскость $(x;a)$. Из второго уравнения $y=-x-a$; подставим это в каждое уравнение совокупности:

$$[\begin{array}{l}x=-4,\\ -x-a=3,\\ -x-a=x-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-4,\\ a=-x-3,\\ a=-2x+2,\end{array}-4⩽x<4.$$

При фиксированном $a$ значение $y$ однозначно находится по $x$, поэтому число решений системы равно числу различных $x$, удовлетворяющих этой совокупности. На плоскости $(x;a)$ это число точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством из трёх частей.

Прямая $x=-4$. Она пересекается с любой горизонтальной прямой — одно решение $(-4;4-a)$ есть всегда.

Отрезок $a=-x-3$, $-4⩽x<4$. На концах $a(-4)=1$ и $a(4)=-7$, функция убывает, поэтому отрезок проходит значения $-7<a⩽1$. Его левый конец $(-4;1)$ лежит на прямой $x=-4$ и нового решения не даёт. Новая точка появляется при $-7<a<1$.

Отрезок $a=-2x+2$, $-4⩽x<4$. На концах $a(-4)=10$ и $a(4)=-6$, поэтому отрезок проходит значения $-6<a⩽10$, а левый конец $(-4;10)$ снова лежит на прямой $x=-4$. Новая точка — при $-6<a<10$.

Отрезки между собой не пересекаются: уравнение $-x-3=-2x+2$ даёт $x=5$, вне промежутка.

Считаем решения. Число решений равно $1$ плюс число отрезков, дающих новую точку.

При $a⩽-7$ новых точек нет — одно решение.

При $-7<a⩽-6$ новую точку даёт только первый отрезок — два решения, подходит.

При $-6<a<1$ новые точки дают оба отрезка — три решения.

При $a=1$ первый отрезок даёт точку $x=-4$, совпадающую с точкой прямой, второй — новую точку $x=\frac{1}{2}$. Решений два — подходит.

При $1<a<10$ новую точку даёт только второй отрезок — два решения, подходит.

При $a⩾10$ новых точек нет — одно решение.

Ответ: $a\in (-7;-6]\cup [1;10)$.