Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x²+a²-2x-6a=|6x-2a| имеет ровно… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная 2022 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$x^{2} + a^{2} - 2 x - 6 a = ∣6 x - 2 a ∣$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй переменной и построим на плоскости $(x; a)$ множество $S$ всех пар $(x; a)$ , удовлетворяющих уравнению. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством $S$ . Нужно найти все $a$ , при которых таких точек ровно две.

Раскроем модуль. Знак выражения $6 x - 2 a$ определяет прямая $a = 3 x$ : при $a ⩽ 3 x$ выражение неотрицательно, при $a > 3 x$ — отрицательно.

Случай 1: $a ⩽ 3 x$ . Тогда $∣6 x - 2 a ∣ = 6 x - 2 a$ и

$x^{2} + a^{2} - 2 x - 6 a = 6 x - 2 a; x^{2} - 8 x + a^{2} - 4 a = 0; (x - 4)^{2} + (a - 2)^{2} = 20.$

Это окружность $ω_{1}$ с центром $(4; 2)$ и радиусом $25$ . Берём её точки на прямой $a = 3 x$ и ниже неё.

Случай 2: $a > 3 x$ . Тогда $∣6 x - 2 a ∣ = 2 a - 6 x$ и

$x^{2} + a^{2} - 2 x - 6 a = 2 a - 6 x; x^{2} + 4 x + a^{2} - 8 a = 0; (x + 2)^{2} + (a - 4)^{2} = 20.$

Это окружность $ω_{2}$ с центром $(- 2; 4)$ и тем же радиусом $25$ . Берём её точки строго выше прямой $a = 3 x$ .

Найдём точки пересечения окружностей с прямой $a = 3 x$ . Для $ω_{1}$ :

$x^{2} - 8 x + 9 x^{2} - 12 x = 0; 10 x^{2} - 20 x = 0; x = 0 или x = 2.$

Для $ω_{2}$ : $x^{2} + 4 x + 9 x^{2} - 24 x = 10 x^{2} - 20 x = 0$ — те же корни. Обе окружности проходят через точки $(0; 0)$ и $(2; 6)$ .

Центр $(4; 2)$ лежит ниже прямой $a = 3 x$ ( $2 < 12$ ), поэтому от $ω_{1}$ остаётся большая дуга с концами $(0; 0)$ и $(2; 6)$ . Центр $(- 2; 4)$ лежит выше прямой ( $4 > - 6$ ), поэтому от $ω_{2}$ тоже остаётся большая дуга, но уже без концов (они принадлежат первой дуге).

Точки на дуге $ω_{1}$ . Горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает $ω_{1}$ при $(a - 2)^{2} ⩽ 20$ , то есть при $2 - 25 ⩽ a ⩽ 2 + 25$ , в точках

$x = 4 \pm 20 - (a - 2)^{2} .$

Нужно условие $a ⩽ 3 x$ , то есть $x ⩾ \frac{a}{3}$ . Правая точка подходит всегда: $x ⩾ 4$ , а $\frac{a}{3} ⩽ \frac{2 + 2 5}{3} < 4$ . Для левой точки условие

$4 - 20 - (a - 2)^{2} ⩾ \frac{a}{3} \Leftrightarrow 20 - (a - 2)^{2} ⩽ \frac{12 - a}{3} .$

Правая часть положительна, возведём в квадрат и умножим на $9$ :

$9 (16 + 4 a - a^{2}) ⩽ 144 - 24 a + a^{2}; 0 ⩽ 10 a^{2} - 60 a; a (a - 6) ⩾ 0.$

Левая точка подходит при $a ⩽ 0$ или $a ⩾ 6$ . В крайних положениях $a = 2 \pm 25$ прямая касается окружности в точке с $x = 4$ , и эти точки подходят.

Итог для дуги $ω_{1}$ : две точки при $2 - 25 < a ⩽ 0$ и при $6 ⩽ a < 2 + 25$ ; одна точка при $a = 2 - 25$ , при $0 < a < 6$ и при $a = 2 + 25$ .

Точки на дуге $ω_{2}$ . Прямая пересекает $ω_{2}$ при $4 - 25 ⩽ a ⩽ 4 + 25$ в точках

$x = - 2 \pm 20 - (a - 4)^{2} .$

Нужно условие $x < \frac{a}{3}$ . Левая точка подходит всегда: $x ⩽ - 2$ , а $\frac{a}{3} ⩾ \frac{4 - 2 5}{3} > - 2$ . Для правой точки

$- 2 + 20 - (a - 4)^{2} < \frac{a}{3} \Leftrightarrow 20 - (a - 4)^{2} < \frac{a + 6}{3} .$

Правая часть положительна, возводим в квадрат:

$9 (4 + 8 a - a^{2}) < a^{2} + 12 a + 36; 0 < 10 a^{2} - 60 a; a (a - 6) > 0.$

Правая точка подходит при $a < 0$ или $a > 6$ . Точки касания при $a = 4 \pm 25$ имеют $x = - 2$ и подходят.

Итог для дуги $ω_{2}$ : две точки при $4 - 25 < a < 0$ и при $6 < a < 4 + 25$ ; одна точка при $a = 4 - 25$ , при $0 ⩽ a ⩽ 6$ и при $a = 4 + 25$ .

Точки двух дуг никогда не совпадают: у первой $x ⩾ \frac{a}{3}$ , у второй $x < \frac{a}{3}$ . Поэтому число корней равно сумме найденных количеств.

Упорядочим граничные значения: $2 - 25 < 4 - 25 < 0 < 6 < 2 + 25 < 4 + 25$ (неравенство $6 < 2 + 25$ верно, так как $5 > 2$ ). Граничные положения горизонтальной прямой показаны пунктиром, положение $a = 0$ — это сама ось абсцисс.

Графическая иллюстрация

Сложим количества, двигаясь снизу вверх.

При $a < 2 - 25$ корней нет, при $a = 2 - 25$ — один.

При $2 - 25 < a < 4 - 25$ две точки на дуге $ω_{1}$ и ни одной на $ω_{2}$ — два корня, подходит.

При $a = 4 - 25$ два корня от $ω_{1}$ и точка касания с $ω_{2}$ — три корня.

При $4 - 25 < a < 0$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a = 0$ дуга $ω_{1}$ даёт $x = 4 \pm 4$ , то есть $0$ и $8$ , а дуга $ω_{2}$ — только левую точку $x = - 2 - 2 = - 4$ (правая точка $x = 0$ уже учтена). Корней три.

При $0 < a < 6$ по одной точке на каждой дуге — два корня, подходит.

При $a = 6$ дуга $ω_{1}$ даёт $x = 4 \pm 2$ , то есть $2$ и $6$ , а дуга $ω_{2}$ — только $x = - 2 - 4 = - 6$ . Корней три.

При $6 < a < 2 + 25$ четыре корня, при $a = 2 + 25$ — три (касание с $ω_{1}$ и две точки на $ω_{2}$ ).

При $2 + 25 < a < 4 + 25$ точек на $ω_{1}$ нет, на $ω_{2}$ две — два корня, подходит.

При $a = 4 + 25$ один корень, выше корней нет.

Ответ: $a \in (2 - 25; 4 - 25) \cup (0; 6) \cup (2 + 25; 4 + 25)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19