ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=4x-a$. Тогда $x^2+4x-a=x^2+t$, и уравнение принимает вид

$$(x^2+t{)}^2=2x^4+2t^2.$$

Раскроем квадрат слева по формуле квадрата суммы и перенесём всё в одну сторону:

$$x^4+2x^{2}t+t^2=2x^4+2t^2;0=x^4-2x^{2}t+t^2;(x^2-t{)}^2=0.$$

Квадрат равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю, поэтому $x^2=t$, то есть

$$x^2-4x+a=0.$$

Все переходы равносильны. Нужно найти $a$, при которых это квадратное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.

Найдём дискриминант: $\frac{D}{4}=4-a$.

При $a>4$ корней нет.

При $a=4$ уравнение $(x-2{)}^2=0$ имеет единственный корень $x=2$, он лежит на отрезке $[0;3]$. Значение $a=4$ подходит.

При $a<4$ корни

$$x_1=2-\sqrt{4-a},x_2=2+\sqrt{4-a},$$

причём $x_1<2<x_2$ и $x_1+x_2=4$ — корни симметричны относительно точки $2$.

Если $x_2⩽3$, то $x_1=4-x_2⩾1$, и оба корня лежат на отрезке — это не подходит. Значит, нужно $x_2>3$, и тогда на отрезке должен лежать корень $x_1$. Он всегда меньше $3$, поэтому остаётся потребовать $x_1⩾0$.

Условие $x_2>3$:

$$\sqrt{4-a}>1;4-a>1;a<3.$$

Условие $x_1⩾0$:

$$\sqrt{4-a}⩽2;4-a⩽4;a⩾0.$$

Получаем $0⩽a<3$. Например, при $a=3$ корни $1$ и $3$ — оба на отрезке, а при $a=0$ корни $0$ и $4$ — на отрезке только $x=0$.

Объединим с $a=4$:

Ответ: $a\in [0;3)\cup \{4\}$.