ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому корни возможны только при $x+a⩾0$, то есть $x⩾-a$. При этом условии уравнение $|A|=B$ равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$:

$$\{\begin{array}{l}x⩾-a,\\ [\begin{array}{l}{x}^2+a^2-7x-5a=x+a,\\ x^2+a^2-7x-5a=-x-a\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x⩾-a,\\ [\begin{array}{l}{x}^2-8x+a^2-6a=0,\\ x^2-6x+a^2-4a=0.\end{array}\end{array}$$

Каждое квадратное уравнение имеет не больше двух корней, поэтому всего корней не больше четырёх. Ровно четыре корня будет тогда и только тогда, когда каждое из уравнений имеет два различных корня, удовлетворяющих условию $x⩾-a$, и у уравнений нет общих корней.

Когда оба корня квадратного трёхчлена не меньше числа $m$. Пусть $f(x)=x^2+px+q$, ветви параболы направлены вверх. Два различных корня $x_1<x_2$, оба не меньшие $m$, есть тогда и только тогда, когда

$$\{\begin{array}{l}D>0,\\ f(m)⩾0,\\ x_{\text{в}}>m.\end{array}$$

Действительно, $f(m)⩾0$ означает, что $m$ не лежит строго между корнями, то есть $m⩽x_1$ или $m⩾x_2$. Условие на вершину $x_{\text{в}}=\frac{x_1+x_2}{2}>m$ исключает второй вариант. Обратно, если $m⩽x_1<x_2$, то все три условия выполнены.

Первое уравнение: $f_1(x)=x^2-8x+a^2-6a$, $m=-a$.

$$\{\begin{array}{l}\frac{D}{4}=16-a^2+6a>0,\\ f_1(-a)=a^2+8a+a^2-6a⩾0,\\ 4>-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(a-8)(a+2)<0,\\ 2a(a+1)⩾0,\\ a>-4.\end{array}$$

Первое неравенство даёт $-2<a<8$, второе — $a⩽-1$ или $a⩾0$, третье — $a>-4$. Пересечение:

то есть $a\in (-2;-1]\cup [0;8)$.

Второе уравнение: $f_2(x)=x^2-6x+a^2-4a$, $m=-a$.

$$\{\begin{array}{l}\frac{D}{4}=9-a^2+4a>0,\\ f_2(-a)=a^2+6a+a^2-4a⩾0,\\ 3>-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}^2-4a-9<0,\\ 2a(a+1)⩾0,\\ a>-3.\end{array}$$

Корни трёхчлена $a^2-4a-9$ равны $2\pm \sqrt{13}$, поэтому первое неравенство даёт $2-\sqrt{13}<a<2+\sqrt{13}$. Так как $3<\sqrt{13}<4$, имеем $-2<2-\sqrt{13}<-1$ и $5<2+\sqrt{13}<6$. Условие $a>-3$ уже выполнено. Получаем $a\in \left(2-\sqrt{13};-1\right]\cup \left[0;2+\sqrt{13}\right)$.

Оба уравнения сразу. Пересечём два множества. Поскольку $2-\sqrt{13}>-2$ и $2+\sqrt{13}<8$, пересечение равно $\left(2-\sqrt{13};-1\right]\cup \left[0;2+\sqrt{13}\right)$.

Общие корни. Пусть $x_0$ — корень обоих уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x_0^2-6x_0+a^2-4a)-(x_0^2-8x_0+a^2-6a)=2x_0+2a=0;x_0=-a.$$

Подставим $x_0=-a$ в первое уравнение: $f_1(-a)=2a(a+1)=0$, то есть $a=0$ или $a=-1$. Проверим: при $a=0$ уравнения $x^2-8x=0$ и $x^2-6x=0$ дают корни $0$, $8$ и $0$, $6$ — различных корней три. При $a=-1$ уравнения $x^2-8x+7=0$ и $x^2-6x+5=0$ дают корни $1$, $7$ и $1$, $5$ — тоже три. Эти значения исключаем.

Ответ: $a\in \left(2-\sqrt{13};-1\right)\cup \left(0;2+\sqrt{13}\right)$.