Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл. Корень определён при , то есть . Поэтому первое уравнение равносильно системе
Решим задачу графически на плоскости . Первое уравнение не содержит параметра и задаёт фиксированное множество . Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом , которая при увеличении сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек и .
Строим . Прямая удовлетворяет неравенству как равенству, поэтому входит в целиком.
Парабола имеет вершину в точке , . Из неё оставляем точки, где
Это дуга параболы от точки до точки , проходящая через вершину . Концы дуги — точки пересечения параболы с прямой (уравнение ).
Общая точка с прямой . Из получаем . Угловые коэффициенты различны, поэтому такая точка есть всегда и она одна.
Общие точки с параболой. Решим уравнение
При корни . Подходят корни из отрезка . Точка может совпасть с точкой дуги только в концах дуги и .
Разбор случаев.
При корней нет, решение одно — точка .
При корень : прямая касается дуги в точке . Точка имеет абсциссу и с ней не совпадает. Решений два — подходит.
При корни . Корень при , то есть при . Корень при , то есть при ; условие выполнено всегда.
При оба корня лежат на , а точка имеет абсциссу и на дуге не лежит. Решений три.
При корни , , а точка имеет абсциссу , то есть совпадает с . Различных решений два: и — подходит.
При на дуге лежит только точка с абсциссой . Точка имеет абсциссу , это не конец дуги, поэтому совпадения нет. Решений два — подходит.
При корень , точка , и точка тоже . Решение одно.
При имеем и , на дуге точек нет — решение одно.
Граничные положения прямой показаны пунктиром.
Ответ: .