ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+4x-a=0,\\ 15x^2-8ax+a^2\ne 0.\end{array}$$

Найдём нули знаменателя, решив квадратное уравнение относительно $x$:

$$15x^2-8ax+a^2=0;D=64a^2-60a^2=4a^2;x=\frac{8a\pm 2a}{30},$$

то есть $x=\frac{a}{3}$ и $x=\frac{a}{5}$. Значит, $15x^2-8ax+a^2=(3x-a)(5x-a)$.

Решения уравнения — корни числителя, отличные от $\frac{a}{3}$ и $\frac{a}{5}$. У квадратного уравнения не больше двух корней, поэтому решений ровно два тогда и только тогда, когда у числителя два различных корня и ни один из них не совпадает с нулём знаменателя.

Два различных корня числителя. Дискриминант уравнения $x^2+4x-a=0$:

$$D=16+4a>0\iff a>-4.$$

Когда $x=\frac{a}{3}$ — корень числителя. Подставим:

$$\frac{a^2}{9}+\frac{4a}{3}-a=0;\frac{a^2}{9}+\frac{a}{3}=0;\frac{a}{3}\left(\frac{a}{3}+1\right)=0;a=0\text{или}a=-3.$$

Когда $x=\frac{a}{5}$ — корень числителя. Подставим:

$$\frac{a^2}{25}+\frac{4a}{5}-a=0;\frac{a^2}{25}-\frac{a}{5}=0;\frac{a}{5}\left(\frac{a}{5}-1\right)=0;a=0\text{или}a=5.$$

При этих значениях один из корней числителя посторонний. Проверим. При $a=0$ числитель $x^2+4x$ имеет корни $0$ и $-4$, но $x=0$ обращает знаменатель $15x^2$ в нуль — остаётся один корень. При $a=-3$ корни числителя $-1$ и $-3$, а $\frac{a}{3}=-1$ — остаётся один корень $x=-3$. При $a=5$ корни числителя $1$ и $-5$, а $\frac{a}{5}=1$ — остаётся один корень $x=-5$.

Итак, нужно $a>-4$ и $a\ne -3$, $a\ne 0$, $a\ne 5$:

Ответ: $a\in (-4;-3)\cup (-3;0)\cup (0;5)\cup (5;+\infty )$.