ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Корень определён при $y-4x+20⩾0$. Поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}xy-4x+20=0,\\ y-4x+20=0,\end{array}\\ y⩾4x-20.\end{array}$$

Решим задачу графически. Построим на плоскости $(x;y)$ множество $S$ решений первого уравнения. Второе уравнение задаёт прямую $l:y=5x+a$ с угловым коэффициентом $5$; при увеличении $a$ она сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек прямой $l$ и множества $S$.

Строим $S$. В уравнении $xy-4x+20=0$ значение $x=0$ невозможно: получилось бы $20=0$. Поэтому можно разделить на $x$:

$$y=4-\frac{20}{x}.$$

Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=4$.

Уравнение $y=4x-20$ задаёт прямую. Для её точек неравенство $y⩾4x-20$ выполнено как равенство, поэтому прямая входит в $S$ целиком.

Выясним, какие точки гиперболы удовлетворяют неравенству. Сначала найдём общие точки гиперболы и прямой — подставим $y=4x-20$ в уравнение $xy-4x+20=0$:

$$x(4x-20)-(4x-20)=0;(4x-20)(x-1)=0;x=5\text{или}x=1.$$

Получаем точки $(1;-16)$ и $(5;0)$. Теперь решим неравенство для точек гиперболы:

$$4-\frac{20}{x}⩾4x-20\iff \frac{24x-20-4x^2}{x}⩾0\iff \frac{(x-1)(x-5)}{x}⩽0.$$

Решим его методом интервалов: нули числителя $1$ и $5$, нуль знаменателя $0$ (выколот).

Значит, в $S$ входят вся левая ветвь гиперболы ($x<0$) и дуга правой ветви при $1⩽x⩽5$ — от точки $(1;-16)$ до точки $(5;0)$.

Общие точки с прямой $y=4x-20$. Уравнение $5x+a=4x-20$ даёт $x=-20-a$. Угловые коэффициенты прямых различны, поэтому общая точка есть всегда, и она ровно одна.

Общие точки с гиперболой. Уравнение $5x+a=4-\frac{20}{x}$ при $x\ne 0$ равносильно квадратному уравнению

$$5x^2+(a-4)x+20=0.(\ast )$$

Нас интересуют его корни, для которых $x<0$ или $1⩽x⩽5$. Точка на прямой $y=4x-20$ может совпасть с точкой гиперболы только в $(1;-16)$ или $(5;0)$.

Граничные положения прямой $l$.

Прямая проходит через $(5;0)$: $0=25+a$, $a=-25$.

Прямая проходит через $(1;-16)$: $-16=5+a$, $a=-21$.

Прямая касается гиперболы, когда уравнение $(\ast )$ имеет один корень, то есть дискриминант равен нулю:

$$D=(a-4{)}^2-4\cdot 5\cdot 20=(a-4{)}^2-400=0;a-4=\pm 20;a=24\text{или}a=-16.$$

При $a=-16$ уравнение $(\ast )$ принимает вид $5x^2-20x+20=0$, то есть $(x-2{)}^2=0$: касание в точке $(2;-6)$ на дуге правой ветви. При $a=24$ получаем $5x^2+20x+20=0$, $x=-2$: касание в точке $(-2;14)$ на левой ветви.

На рисунке — нижняя часть картины с первыми тремя граничными положениями (левая ветвь гиперболы лежит выше, $y>4$).

Считаем решения. По теореме Виета произведение корней уравнения $(\ast )$ равно $\frac{20}{5}=4>0$, поэтому корни одного знака, а их сумма равна $\frac{4-a}{5}$. Обозначим $f(x)=5x^2+(a-4)x+20$; тогда $f(1)=a+21$, $f(5)=5a+125$.

При $a>24$ дискриминант положителен, сумма корней отрицательна, значит, оба корня отрицательны и дают две точки на левой ветви. Вместе с точкой на прямой — три решения.

При $a=24$ одна точка касания $(-2;14)$ и точка на прямой — два решения, подходит.

При $-16<a<24$ дискриминант отрицателен, общих точек с гиперболой нет — одно решение.

При $a=-16$ точка касания $(2;-6)$ на дуге и точка на прямой ($x=-4$) — два решения, подходит.

При $a<-16$ оба корня положительны, их произведение равно $4$, поэтому $x_1<2<x_2$. Абсцисса вершины параболы $y=f(x)$ равна $\frac{4-a}{10}>2$.

При $-21<a<-16$ имеем $f(1)>0$, а точка $1$ левее вершины, значит, оба корня больше $1$: $x_1\in (1;2)$, $x_2=\frac{4}{x_1}\in (2;4)$. Обе точки лежат на дуге, плюс точка на прямой с абсциссой $-20-a\in (-4;1)$ — три решения.

При $a=-21$ имеем $f(1)=0$: корни $x_1=1$, $x_2=4$. Точка на прямой имеет абсциссу $-20+21=1$, то есть совпадает с $(1;-16)$. Различных решений два: $(1;-16)$ и $(4;-1)$ — подходит.

При $-25<a<-21$ имеем $f(1)<0$, поэтому $x_1<1<x_2$, и корень $x_1\in (0;1)$ не подходит. Вершина $\frac{4-a}{10}<2,9$ левее точки $5$, а $f(5)=5a+125>0$, значит, $x_2<5$, и точка с абсциссой $x_2$ лежит на дуге. Точка на прямой имеет абсциссу $-20-a\in (1;5)$ и с гиперболой не совпадает. Решений два — подходит.

При $a=-25$ имеем $f(5)=0$: $x_2=5$, $x_1=\frac{4}{5}$ не подходит. Точка на прямой — тоже $(5;0)$. Решение одно.

При $a<-25$ имеем $f(1)<0$ и $f(5)<0$, поэтому $x_1<1$, $x_2>5$, оба корня не подходят. Решение одно.

Все граничные положения прямой показаны на рисунке.

Ответ: $a\in (-25;-21]\cup \{-16;24\}$.