Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x²+a²-6x+4a|=2x-2a имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная развёрнутое

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$∣ x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a ∣ = 2 x - 2 a$

имеет ровно два различных корня.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Модуль любого числа неотрицателен, поэтому корни могут быть только там, где правая часть неотрицательна. Уравнение вида $∣ A ∣ = B$ равносильно системе: $B ⩾ 0$ и $A = B$ или $A = - B$ . Получаем

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 2 a ⩾ 0, [x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a = 2 x - 2 a, x^{2} + a^{2} - 6 x + 4 a = - 2 x + 2 a .$

Условие $2 x - 2 a ⩾ 0$ означает $x ⩾ a$ , то есть $a ⩽ x$ .

Решим задачу графически. Будем считать $a$ второй переменной и изобразим на плоскости $(x; a)$ все пары $(x; a)$ , удовлетворяющие системе. При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы точек, в которых горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает построенное множество. Нужно найти все $a$ , при которых таких точек ровно две.

Первое уравнение совокупности. Перенесём всё влево: $x^{2} - 8 x + a^{2} + 6 a = 0$ . Выделим полные квадраты: $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$ , $a^{2} + 6 a = (a + 3)^{2} - 9$ . Получаем

$(x - 4)^{2} + (a + 3)^{2} = 25.$

Это окружность $ω_{1}$ с центром $(4; - 3)$ и радиусом $5$ .

Второе уравнение совокупности. Перенесём всё влево: $x^{2} - 4 x + a^{2} + 2 a = 0$ . Так как $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ и $a^{2} + 2 a = (a + 1)^{2} - 1$ , получаем

$(x - 2)^{2} + (a + 1)^{2} = 5.$

Это окружность $ω_{2}$ с центром $(2; - 1)$ и радиусом $5$ .

Из каждой окружности оставляем только точки, лежащие на прямой $a = x$ или ниже неё.

Найдём, где окружности пересекают прямую $a = x$ . Подставим $a = x$ в уравнение $x^{2} - 8 x + a^{2} + 6 a = 0$ :

$x^{2} - 8 x + x^{2} + 6 x = 0; 2 x^{2} - 2 x = 0; x = 0 или x = 1.$

Для второй окружности: $x^{2} - 4 x + x^{2} + 2 x = 2 x^{2} - 2 x = 0$ — те же корни. Значит, обе окружности проходят через точки $O (0; 0)$ и $B (1; 1)$ . Других общих точек у окружностей нет: если вычесть одно уравнение из другого, получится $- 4 x + 4 a = 0$ , то есть $a = x$ , а на этой прямой общие точки только $O$ и $B$ .

Хорда $O B$ делит каждую окружность на две дуги, и большая дуга лежит по ту же сторону от хорды, что и центр. Центр $(4; - 3)$ лежит ниже прямой $a = x$ , так как $- 3 < 4$ ; центр $(2; - 1)$ — тоже, так как $- 1 < 2$ . Поэтому от каждой окружности остаётся большая дуга $O B$ вместе с концами $O$ и $B$ .

Большие дуги двух окружностей на плоскости (x; a)

Посчитаем точки на горизонтальной прямой на высоте $a$ .

Дуга окружности $ω_{1}$ . Прямая пересекает окружность $ω_{1}$ , когда $(a + 3)^{2} ⩽ 25$ , то есть при $- 8 ⩽ a ⩽ 2$ , в точках

$x = 4 \pm 25 - (a + 3)^{2} .$

Правая точка подходит всегда: $x ⩾ 4 > 2 ⩾ a$ . Левая подходит, если

$4 - 25 - (a + 3)^{2} ⩾ a \Leftrightarrow 25 - (a + 3)^{2} ⩽ 4 - a .$

При $a ⩽ 2$ правая часть положительна, обе части неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:

$25 - a^{2} - 6 a - 9 ⩽ 16 - 8 a + a^{2}; 0 ⩽ 2 a^{2} - 2 a; a (a - 1) ⩾ 0.$

Значит, левая точка подходит при $a ⩽ 0$ или $a ⩾ 1$ . При $a = - 8$ и $a = 2$ прямая касается окружности в точках $(4; - 8)$ и $(4; 2)$ , обе лежат ниже прямой $a = x$ .

Итог для $ω_{1}$ : две точки при $- 8 < a ⩽ 0$ и при $1 ⩽ a < 2$ ; одна точка при $a = - 8$ , при $0 < a < 1$ и при $a = 2$ ; иначе точек нет.

Дуга окружности $ω_{2}$ . Прямая пересекает $ω_{2}$ при $(a + 1)^{2} ⩽ 5$ , то есть при $- 1 - 5 ⩽ a ⩽ 5 - 1$ , в точках

$x = 2 \pm 5 - (a + 1)^{2} .$

Правая точка подходит всегда: $x ⩾ 2 > 5 - 1 ⩾ a$ . Для левой точки условие $2 - 5 - (a + 1)^{2} ⩾ a$ при $2 - a > 0$ равносильно

$5 - a^{2} - 2 a - 1 ⩽ 4 - 4 a + a^{2}; 0 ⩽ 2 a^{2} - 2 a; a (a - 1) ⩾ 0.$

Снова $a ⩽ 0$ или $a ⩾ 1$ . Точки касания $(2; - 1 - 5)$ и $(2; 5 - 1)$ лежат ниже прямой $a = x$ .

Итог для $ω_{2}$ : две точки при $- 1 - 5 < a ⩽ 0$ и при $1 ⩽ a < 5 - 1$ ; одна точка при $a = - 1 - 5$ , при $0 < a < 1$ и при $a = 5 - 1$ .

Совпадения. Точки двух дуг совпадают только в $O$ и $B$ . При $a = 0$ получаем $x = 4 \pm 4$ и $x = 2 \pm 2$ , то есть корни $0$ , $4$ , $8$ — их три. При $a = 1$ получаем $x = 4 \pm 3$ и $x = 2 \pm 1$ , то есть корни $1$ , $3$ , $7$ — тоже три.

Расположим найденные значения по порядку: $- 8 < - 1 - 5 < 0 < 1 < 5 - 1 < 2$ (здесь $- 1 - 5 \approx - 3, 24$ , $5 - 1 \approx 1, 24$ ). На рисунке пунктиром показаны граничные положения горизонтальной прямой.

Графическая иллюстрация

Сложим количества точек двух дуг, двигаясь снизу вверх.

При $a < - 8$ точек нет. При $a = - 8$ одна точка.

При $- 8 < a < - 1 - 5$ две точки на дуге $ω_{1}$ и ни одной на дуге $ω_{2}$ — корней два, подходит.

При $a = - 1 - 5$ две точки на $ω_{1}$ и точка касания с $ω_{2}$ — три корня.

При $- 1 - 5 < a < 0$ по две точки на каждой дуге — четыре корня.

При $a = 0$ три корня (найдено выше).

При $0 < a < 1$ по одной (правой) точке на каждой дуге, и они различны, так как общие точки дуг есть только при $a = 0$ и $a = 1$ . Корней два — подходит.

При $a = 1$ три корня. При $1 < a < 5 - 1$ четыре корня.

При $a = 5 - 1$ прямая касается дуги $ω_{2}$ в точке $(2; 5 - 1)$ и дважды пересекает дугу $ω_{1}$ — корней три, не подходит.

При $5 - 1 < a < 2$ две точки на $ω_{1}$ , на $ω_{2}$ точек нет — корней два, подходит.

При $a = 2$ один корень, при $a > 2$ корней нет.

Ответ: $a \in (- 8; - 1 - 5) \cup (0; 1) \cup (5 - 1; 2)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19