ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Область определения: $x⩾0$. Обозначим $f(x)=\left|1-6\sqrt{x}\right|$ и $g(x)=2(x+a)=2x+2a$. Графики $g$ — параллельные прямые с угловым коэффициентом $2$; при увеличении $a$ прямая поднимается. Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков $f$ и $g$. По условию $a>0$.

График $f$. Подмодульное выражение обращается в ноль при $\sqrt{x}=\frac{1}{6}$, то есть $x=\frac{1}{36}$. Раскроем модуль:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-6\sqrt{x},& 0⩽x⩽\frac{1}{36},\\ 6\sqrt{x}-1,& x⩾\frac{1}{36}.\end{array}$$

На отрезке $\left[0;\frac{1}{36}\right]$ функция убывает от $1$ до $0$ — это короткий крутой участок у оси $Oy$. При $x⩾\frac{1}{36}$ функция возрастает — это ветвь вида $y=6\sqrt{x}-1$.

Левый участок $\left[0;\frac{1}{36}\right]$. Рассмотрим $\phi (x)=1-6\sqrt{x}-2x-2a$. Она строго убывает, $\phi (0)=1-2a$ и $\phi \left(\frac{1}{36}\right)=-\frac{1}{18}-2a<0$. Поэтому на этом участке ровно один корень, если $1-2a⩾0$, и ни одного, если $1-2a<0$. Граничное положение $a=\frac{1}{2}$ — прямая $y=2x+1$ проходит через точку $(0;1)$:

• при $0<a⩽\frac{1}{2}$ на левом участке один корень;
• при $a>\frac{1}{2}$ прямая проходит выше точки $(0;1)$, корней на левом участке нет.

Правый участок $x⩾\frac{1}{36}$. Решим уравнение $6\sqrt{x}-1=2x+2a$. Сделаем замену $s=\sqrt{x}$, где $s⩾\frac{1}{6}$:

$$2s^2-6s+2a+1=0,\frac{D}{4}=9-2(2a+1)=7-4a.$$

При $a>\frac{7}{4}$ корней нет — прямая проходит выше ветви.

При $a=\frac{7}{4}$ корень один: $s=\frac{3}{2}⩾\frac{1}{6}$, то есть $x=\frac{9}{4}$, $y=8$. Это положение касания прямой $y=2x+\frac{7}{2}$ с ветвью в точке $\left(\frac{9}{4};8\right)$.

При $a<\frac{7}{4}$ корни $s_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{7-4a}}{2}$. Больший корень $s_2>\frac{3}{2}>\frac{1}{6}$ подходит всегда. Меньший подходит, если

$$\frac{3-\sqrt{7-4a}}{2}⩾\frac{1}{6}\iff \sqrt{7-4a}⩽\frac{8}{3}\iff 7-4a⩽\frac{64}{9}\iff a⩾-\frac{1}{36},$$

что верно при $a>0$. Итак, при $0<a<\frac{7}{4}$ на правом участке два корня.

Корень левого участка меньше $\frac{1}{36}$, а корни правого — больше $\frac{1}{36}$, поэтому все найденные корни различны.

На рисунке пунктиром показаны граничные положения $a=\frac{1}{2}$ и $a=\frac{7}{4}$, тонкой линией — промежуточная прямая (при $a=1$) с двумя общими точками.

Итог при $a>0$:

• $0<a⩽\frac{1}{2}$: $1+2=3$ корня;
• $\frac{1}{2}<a<\frac{7}{4}$: $0+2=2$ корня;
• $a=\frac{7}{4}$: один корень;
• $a>\frac{7}{4}$: корней нет.

Ровно два различных корня уравнение имеет при $\frac{1}{2}<a<\frac{7}{4}$.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{2};\frac{7}{4}\right)$.