ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Выразим параметр:

$$a=2x-(x+1)|x+1|.(\ast )$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: число решений исходного уравнения при данном $a$ равно числу точек пересечения графика $(\ast )$ с горизонтальной прямой на высоте $a$.

При $x⩽-1$ имеем $|x+1|=-(x+1)$, и

$$a=2x+(x+1{)}^2=x^2+4x+1=(x+2{)}^2-3.$$

Это часть параболы с ветвями вверх и вершиной $(-2;-3)$. На $(-\infty ;-2]$ функция убывает от $+\infty$ до $-3$, на $[-2;-1]$ возрастает от $-3$ до $-2$.

При $x>-1$ имеем $|x+1|=x+1$, и

$$a=2x-(x+1{)}^2=-x^2-1.$$

Это часть параболы с ветвями вниз и вершиной $(0;-1)$. На $(-1;0]$ функция возрастает от $-2$ до $-1$, на $[0;+\infty )$ убывает от $-1$ до $-\infty$.

В точке $x=-1$ обе формулы дают $a=-2$, функция непрерывна. Итак, она убывает на $(-\infty ;-2]$, возрастает на $[-2;0]$ от $-3$ до $-1$ и убывает на $[0;+\infty )$. Точка $(-2;-3)$ — минимум, точка $(0;-1)$ — максимум.

Посчитаем точки пересечения с прямой на высоте $m$, учитывая множества значений на каждом участке монотонности: $(-3;+\infty )$ на $(-\infty ;-2)$, $[-3;-1]$ на $[-2;0]$ и $(-\infty ;-1)$ на $(0;+\infty )$.

• $m>-1$: одна точка (на левом убывающем участке);
• $m=-1$: две точки — $x=-2-\sqrt{2}$ на левом участке и вершина $x=0$;
• $-3<m<-1$: три точки — по одной на каждом участке монотонности;
• $m=-3$: две точки — вершина $x=-2$ и $x=\sqrt{2}$ на правом участке;
• $m<-3$: одна точка (на правом убывающем участке).

На рисунке вертикальная ось — ось $a$, граничные положения прямой показаны пунктиром.

Ровно два различных решения уравнение имеет только в положениях, когда прямая проходит через вершину одной из парабол: $a=-3$ и $a=-1$.

Ответ: $a\in \{-3;-1\}$.