ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$t=5x+\left|x-a^2\right|-4|x+1|-a^2.$$

Тогда уравнение примет вид

$$t^2+(a+2)t+1=0.(\ast )$$

Исследуем замену — функцию $g(x)=5x+\left|x-a^2\right|-4|x+1|-a^2$. Нули подмодульных выражений: $x=-1$ и $x=a^2$. Так как $a^2⩾0>-1$, при любом $a$ они расположены в одном порядке: $-1<a^2$.

При $x⩽-1$: $\left|x-a^2\right|=a^2-x$, $|x+1|=-x-1$, и

$$g(x)=5x+a^2-x+4x+4-a^2=8x+4.$$

При $-1⩽x⩽a^2$: $\left|x-a^2\right|=a^2-x$, $|x+1|=x+1$, и

$$g(x)=5x+a^2-x-4x-4-a^2=-4.$$

При $x⩾a^2$: $\left|x-a^2\right|=x-a^2$, $|x+1|=x+1$, и

$$g(x)=5x+x-a^2-4x-4-a^2=2x-2a^2-4.$$

На стыках значения совпадают: $8\cdot (-1)+4=-4$ и $2a^2-2a^2-4=-4$, функция непрерывна.

На луче $(-\infty ;-1]$ функция возрастает от $-\infty$ до $-4$, на отрезке $\left[-1;a^2\right]$ (его длина $a^2+1>0$) постоянна и равна $-4$, на луче $\left[a^2;+\infty \right)$ возрастает от $-4$ до $+\infty$. Поэтому:

• каждое значение $t<-4$ принимается ровно в одной точке $x=\frac{t-4}{8}$;
• каждое значение $t>-4$ принимается ровно в одной точке $x=\frac{t+2a^2+4}{2}$;
• значение $t=-4$ принимается во всех точках отрезка $\left[-1;a^2\right]$ — бесконечно много раз.

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast )$ имеет два различных корня, ни один из которых не равен $-4$. Если у $(\ast )$ один корень, отличный от $-4$, решение одно; если $-4$ — корень $(\ast )$, решений бесконечно много.

Два различных корня:

$$D=(a+2{)}^2-4=(a+2-2)(a+2+2)=a(a+4)>0.$$

Получаем $a\in (-\infty ;-4)\cup (0;+\infty )$.

Ни один корень не равен $-4$. Подставим $t=-4$ в $(\ast )$:

$$16-4(a+2)+1\ne 0\iff 9-4a\ne 0\iff a\ne \frac{9}{4}.$$

Действительно, при $a=\frac{9}{4}$ уравнение $t^2+\frac{17}{4}t+1=0$ имеет корни $t=-4$ и $t=-\frac{1}{4}$, и решений бесконечно много.

Объединим условия:

Ответ: $a\in (-\infty ;-4)\cup \left(0;\frac{9}{4}\right)\cup \left(\frac{9}{4};+\infty \right)$.