ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Функция $f$ непрерывна и неограниченно растёт при $x\to \pm \infty$, поэтому наименьшее значение у неё есть. Оно меньше $2$ тогда и только тогда, когда неравенство $f(x)<2$ имеет хотя бы одно решение. Перепишем его:

$$h(x)<g(x),h(x)=\left|x^2-x-2\right|,g(x)=2-3|x+a|.$$

Нужно найти все $a$, при которых хотя бы одна точка графика $h$ лежит строго ниже графика $g$.

График $h$. Парабола $y=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ пересекает ось $Ox$ в точках $-1$ и $2$, её вершина $\left(\frac{1}{2};-\frac{9}{4}\right)$. Часть параболы ниже оси отражаем вверх: на $[-1;2]$ получаем дугу $y=-x^2+x+2$ с вершиной $\left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right)$. Значение $h=2$ достигается при $x=0$ и $x=1$ (на дуге) и при $x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$ (на крайних ветвях).

Отметим важную деталь. В точке $(-1;0)$ производная левой ветви $(x^2-x-2{)}^{\prime }=2x-1$ равна $-3$, а производная дуги $(-x^2+x+2{)}^{\prime }=-2x+1$ равна $3$. Точно так же в точке $(2;0)$ наклоны равны $-3$ и $3$. Это те же наклоны, что у сторон уголка.

График $g$ — уголок с вершиной $(-a;2)$, стороны которого идут вниз с угловыми коэффициентами $3$ и $-3$. При изменении $a$ вершина скользит по прямой $y=2$. Обозначим абсциссу вершины $p=-a$, тогда $g(x)=2-3|x-p|$.

Симметрия. Функция $h$ симметрична относительно прямой $x=\frac{1}{2}$: $h(1-x)=\left|(1-x{)}^2-(1-x)-2\right|=\left|x^2-x-2\right|=h(x)$. Поэтому если уголок с вершиной в $p$ отразить относительно $x=\frac{1}{2}$, получится уголок с вершиной в $1-p$, и картина взаимного расположения отразится. Значит, $p$ подходит тогда и только тогда, когда подходит $1-p$. Достаточно разобрать $p⩽\frac{1}{2}$, а затем отразить.

Будем двигать уголок слева направо.

Положение 1: $p=-\frac{5}{3}$ (то есть $a=\frac{5}{3}$). Правая сторона уголка лежит на прямой $y=2-3\left(x+\frac{5}{3}\right)=-3(x+1)$, проходящей через $(-1;0)$. Так как $|u|⩾u$, при всех $x$ выполнено $g(x)⩽-3(x+1)$. При $x⩽-1$:

$$h(x)-(-3(x+1))=x^2-x-2+3x+3=(x+1{)}^2⩾0,$$

а при $x>-1$ имеем $-3(x+1)<0⩽h(x)$. Значит, $h(x)⩾g(x)$ всюду, и равенство только при $x=-1$: уголок касается графика $h$ в точке $(-1;0)$ снизу. Строгое неравенство решений не имеет, $a=\frac{5}{3}$ не подходит.

Левее, $p<-\frac{5}{3}$. Тогда $g(x)⩽2-3(x-p)<2-3x-5=-3(x+1)⩽h(x)$ при всех $x$ (последнее неравенство только что доказано). Решений нет.

Между положениями 1 и 2, $-\frac{5}{3}<p<0$. Если $-\frac{5}{3}<p⩽-1$, возьмём $x=-1$: $g(-1)=2-3(-1-p)=5+3p>0=h(-1)$. Если $-1<p<0$, возьмём $x=p$: $g(p)=2$, а $h(p)=2+p(1-p)<2$, так как $p<0<1-p$. В обоих случаях решение есть — эти значения подходят.

Положение 2: $p=0$ (то есть $a=0$). Вершина уголка $(0;2)$ лежит на дуге. Покажем, что при $0⩽p⩽1$ уголок нигде не поднимается над графиком $h$.

На $[0;1]$: $h(x)=2+x(1-x)⩾2⩾g(x)$.

При $-1⩽x<0$: $|x-p|⩾-x$, поэтому $g(x)⩽2+3x$, и

$$h(x)-(2+3x)=-x^2+x+2-2-3x=-x(x+2)⩾0.$$

При $x<-1$: $g(x)⩽2+3x<-1<0⩽h(x)$.

При $1<x⩽2$: $|x-p|⩾x-1$, поэтому $g(x)⩽5-3x$, и

$$h(x)-(5-3x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)⩾0.$$

При $x>2$: $g(x)⩽5-3x<-1<h(x)$.

Итак, при $0⩽p⩽1$ неравенство $h(x)<g(x)$ решений не имеет: при $p=0$ уголок касается дуги в точке $(0;2)$, при $p=1$ — в точке $(1;2)$.

Положения 3 и 4 симметричны положениям 2 и 1 относительно прямой $x=\frac{1}{2}$: вершина в $p=1$ (уголок касается дуги в точке $(1;2)$) и в $p=1-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{8}{3}$ (левая сторона уголка касается правой ветви в точке $(2;0)$).

Подходящие $p$ при $p⩽\frac{1}{2}$ — это $-\frac{5}{3}<p<0$. По симметрии $p\mapsto 1-p$ получаем ещё $1<p<\frac{8}{3}$, а остальные $p$ не подходят. Вернёмся к $a=-p$:

$$-\frac{5}{3}<-a<0\iff 0<a<\frac{5}{3},1<-a<\frac{8}{3}\iff -\frac{8}{3}<a<-1.$$

Ответ: $a\in \left(-\frac{8}{3};-1\right)\cup \left(0;\frac{5}{3}\right)$.