Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Будем рассматривать как вторую переменную и построим на плоскости множество решений системы. Система имеет хотя бы одно решение при тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая имеет с множеством хотя бы одну общую точку.
Первое неравенство. Произведение двух множителей не больше нуля, когда они разных знаков или один из них равен нулю:
Геометрически это значит, что точка лежит между прямыми и (включая сами прямые). Прямые пересекаются, когда , то есть в точке . При выполнено и работает первая система, при — вторая.
Второе неравенство. — точки не ниже параболы . Её вершина .
Взаимное расположение графиков. Парабола и прямая :
Единственная общая точка — точка касания. Так как , парабола нигде не опускается ниже этой прямой.
Парабола и прямая :
Общие точки и ; при парабола лежит ниже прямой.
Множество .
При нужно и . Так как , условия сводятся к . Такие есть, только если , то есть при . Эта часть — криволинейная область между дугой параболы от через до и отрезком прямой .
При нужно и . Тогда , то есть , откуда и ; условие выполнено. Эта часть — одна точка .
При первое неравенство даёт , а второе — решений нет.
На рисунке вертикальная ось — ось ; граница выделена жирно, граничные положения горизонтальной прямой показаны пунктиром.
Какие горизонтальные прямые пересекают . Для подходят . Самая низкая точка области — вершина : наименьшее значение на равно (при ). Самая высокая — точка : наибольшее значение на равно .
Все промежуточные значения тоже достигаются. Если , подходит : . Если , подходит : при нём , а на этом отрезке.
Значит, прямая пересекает при и ещё при (проходит через ). При , и общих точек нет.
Ответ: .