ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=x^2-ax+36$ и $y=24x-a^2$. Так как $\left|a^2-24x\right|=|y|$, уравнение примет вид

$$|t|+|y|=||t|-|y||.$$

Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$$t^2+2|t|\cdot |y|+y^2=t^2-2|t|\cdot |y|+y^2\iff 4|t|\cdot |y|=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}{x}^2-ax+36=0,\\ 24x-a^2=0.\end{array}$$

Второе уравнение при любом $a$ имеет ровно один корень $x_0=\frac{a^2}{24}$. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда квадратное уравнение $x^2-ax+36=0$ не имеет корней, отличных от $x_0$.

Дискриминант квадратного уравнения:

$$D=a^2-4\cdot 36=a^2-144=(a-12)(a+12).$$

1) $D<0$. Квадратное уравнение корней не имеет, и у исходного уравнения единственный корень $x_0$. Решим неравенство $(a-12)(a+12)<0$:

Получаем $a\in (-12;12)$ — все эти значения подходят.

2) $D>0$. Квадратное уравнение имеет два различных корня, и с $x_0$ может совпасть не более одного из них. Всего корней не меньше двух — не подходит.

3) $D=0$, то есть $a=\pm 12$. Квадратное уравнение имеет один корень — абсциссу вершины параболы $x_1=\frac{a}{2}$. Корень единственный, если $x_1=x_0$:

$$\frac{a}{2}=\frac{a^2}{24}\iff a^2-12a=0\iff a=0\text{или}a=12.$$

Из значений $a=\pm 12$ подходит только $a=12$: тогда $x_1=6$ и $x_0=\frac{144}{24}=6$. При $a=-12$ корни разные: $x_1=-6$ и $x_0=6$.

Объединяя случаи, получаем $a\in (-12;12]$.

Ответ: $a\in (-12;12]$.