ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Первое неравенство. Левая часть $(a-x{)}^2+(y+a{)}^2$ неотрицательна. Если $a+3<0$, неравенство не имеет решений, и система тоже, поэтому $a<-3$ не подходит.

При $a=-3$ неравенство принимает вид $(x+3{)}^2+(y-3{)}^2⩽0$. Сумма квадратов не больше нуля только тогда, когда оба квадрата равны нулю, поэтому решение одно: $x=-3$, $y=3$. Проверим второе неравенство при $a=-3$:

$$-3-3⩽|3+6|\iff -6⩽9$$

— верно. Значит, при $a=-3$ система имеет единственное решение, и это значение подходит.

При $a>-3$ первое неравенство задаёт круг $K$ с центром $O(a;-a)$ и радиусом $r=\sqrt{a+3}>0$ вместе с границей.

Второе неравенство. Обозначим $c=|3-2a|⩾0$. Неравенство $x-y⩽c$ равносильно $y⩾x-c$ и задаёт полуплоскость $\Pi$ над прямой $\ell :x-y=c$ вместе с этой прямой.

Когда пересечение $K\cap \Pi$ — одна точка. Возможны три расположения прямой $\ell$ и круга.

Если $\ell$ не имеет общих точек с кругом, то круг целиком лежит либо в $\Pi$ (решений бесконечно много), либо вне $\Pi$ (решений нет).

Если $\ell$ пересекает круг по хорде, то от круга отсекается часть, содержащая бесконечно много точек.

Если $\ell$ касается окружности, то либо весь круг лежит в $\Pi$ (бесконечно много решений), либо круг лежит по другую сторону, и общая точка одна — точка касания. Второе бывает, когда центр $O$ не лежит в $\Pi$.

Значит, при $a>-3$ решение единственно тогда и только тогда, когда расстояние от $O$ до $\ell$ равно $r$ и при этом $O\notin \Pi$, то есть для центра $x-y>c$:

$$a-(-a)>|3-2a|\iff 2a-|3-2a|>0.$$

Расстояние от центра до прямой. Запишем $\ell$ в виде $x-y-c=0$. По формуле расстояния от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$, равного $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, получаем

$$d=\frac{|a+a-c|}{\sqrt{2}}=\frac{|2a-|3-2a||}{\sqrt{2}}.$$

При условии $2a-|3-2a|>0$ модуль раскрывается со знаком плюс, и условие $d=r$ принимает вид

$$2a-|3-2a|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{a+3}=\sqrt{2a+6}.$$

Правая часть положительна при $a>-3$, поэтому это уравнение само обеспечивает условие $2a-|3-2a|>0$.

Пусть $-3<a⩽\frac{3}{2}$. Тогда $|3-2a|=3-2a$, и

$$4a-3=\sqrt{2a+6}.$$

Это равносильно системе $4a-3⩾0$, $(4a-3{)}^2=2a+6$. Решим уравнение:

$$16a^2-24a+9=2a+6\iff 16a^2-26a+3=0,$$

$$D=26^2-4\cdot 16\cdot 3=676-192=484=22^2,a=\frac{26\pm 22}{32},$$

то есть $a=\frac{3}{2}$ или $a=\frac{1}{8}$. Условию $4a-3⩾0$ (то есть $a⩾\frac{3}{4}$) удовлетворяет только $a=\frac{3}{2}$, и оно лежит в рассматриваемом промежутке.

Значение $a=\frac{1}{8}$ — посторонний корень возведения в квадрат. При нём прямая тоже касается окружности, но центр лежит в $\Pi$: $\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}<\left|3-\frac{1}{4}\right|=\frac{11}{4}$, поэтому решением системы будет весь круг.

Пусть $a>\frac{3}{2}$. Тогда $|3-2a|=2a-3$, и

$$2a-(2a-3)=\sqrt{2a+6}\iff \sqrt{2a+6}=3\iff a=\frac{3}{2},$$

что не удовлетворяет условию $a>\frac{3}{2}$. Новых значений нет.

Проверка $a=\frac{3}{2}$. Центр $O\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{2}\right)$, радиус $r=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$, $c=0$, прямая $\ell$: $y=x$. Расстояние $d=\frac{|3/2+3/2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=r$ — касание, а для центра $x-y=3>0$, то есть центр вне $\Pi$. Единственное решение — точка касания $(0;0)$: $\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}⩽\frac{9}{2}$ и $0-0⩽0$.

Ответ: $a\in \{-3;1,5\}$.