ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=2^x$. Функция $2^x$ принимает каждое положительное значение ровно один раз, поэтому корней $x$ столько же, сколько положительных корней $t$. Так как $4^x={\left(2^x\right)}^2=t^2$, уравнение примет вид

$$t-a=\sqrt{t^2-3a}.$$

Уравнение $\sqrt{f}=g$ равносильно системе $g⩾0$, $f=g^2$ (условие $f⩾0$ тогда выполняется само, ведь $f=g^2$). Получаем

$$\{\begin{array}{l}t-a⩾0,\\ (t-a{)}^2=t^2-3a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t⩾a,\\ t^2-2at+a^2=t^2-3a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t⩾a,\\ 2at=a^2+3a.\end{array}$$

Нужно, чтобы эта система имела ровно одно решение $t>0$.

Случай $a=0$. Второе уравнение принимает вид $0=0$ и верно при всех $t$, а первое условие $t⩾0$ выполнено для всех $t>0$. Значит, решением будет любое $t>0$, то есть любое $x$ (действительно, $2^x=\sqrt{4^x}$ при всех $x$). Корней бесконечно много — значение не подходит.

Случай $a\ne 0$. Разделим второе уравнение на $2a$:

$$t=\frac{a+3}{2}.$$

Это единственный кандидат. Он даёт корень, если выполнены условия $t>0$ и $t⩾a$:

$$\{\begin{array}{l}\frac{a+3}{2}>0,\\ \frac{a+3}{2}⩾a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+3>0,\\ a+3⩾2a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>-3,\\ a⩽3.\end{array}$$

Если эти условия выполнены, корень ровно один: $x={\log }_2\frac{a+3}{2}$. Если нет — корней нет.

Проверим концы. При $a=3$ получаем $t=3=a$, тогда левая часть $t-a=0$ и правая $\sqrt{9-9}=0$ — корень есть, значение подходит. При $a=-3$ получаем $t=0$, но $2^x\ne 0$ — корней нет.

Учтём, что $a\ne 0$:

Ответ: $a\in (-3;0)\cup (0;3]$.