ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $\mathrm{tg}x$ определён при $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0;\pi ]$ это означает $x\ne \frac{\pi }{2}$.

Обозначим $A=2x+a+1-\mathrm{tg}x$, $B=2x+a-1+\mathrm{tg}x$. Уравнение $A^2=B^2$ равносильно $(A-B)(A+B)=0$. Найдём множители:

$$A-B=2-2\mathrm{tg}x,A+B=4x+2a.$$

Получаем на ОДЗ

$$(2-2\mathrm{tg}x)(4x+2a)=0\iff (1-\mathrm{tg}x)(2x+a)=0\iff [\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=1,\\ x=-\frac{a}{2}.\end{array}$$

Первая серия. $\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi n$. На отрезке $[0;\pi ]$ лежит только $x=\frac{\pi }{4}$ (следующий корень $\frac{5\pi }{4}>\pi$). Этот корень входит в ОДЗ и является решением при любом $a$.

Второй корень. $x=-\frac{a}{2}$ — решение на отрезке, если он лежит на отрезке и входит в ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}0⩽-\frac{a}{2}⩽\pi ,\\ -\frac{a}{2}\ne \frac{\pi }{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2\pi ⩽a⩽0,\\ a\ne -\pi .\end{array}$$

При $a=-\pi$ получаем $x=\frac{\pi }{2}$, где тангенс не определён, — этот «корень» посторонний.

Корни совпадают, если $-\frac{a}{2}=\frac{\pi }{4}$, то есть $a=-\frac{\pi }{2}$.

Корень $x=\frac{\pi }{4}$ есть всегда, поэтому решение единственно, когда второй корень на отрезке отсутствует или совпадает с первым:

• $a<-2\pi$ или $a>0$: $-\frac{a}{2}\notin [0;\pi ]$ — одно решение;
• $a=-\pi$: $x=\frac{\pi }{2}$ не входит в ОДЗ — одно решение;
• $a=-\frac{\pi }{2}$: оба корня равны $\frac{\pi }{4}$ — одно решение;
• остальные $a\in [-2\pi ;0]$: два различных решения — не подходят.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2\pi )\cup \left\{-\pi ;-\frac{\pi }{2}\right\}\cup (0;+\infty )$.