ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Будем рассматривать $a$ как вторую переменную и построим на плоскости $(x;a)$ множество $S$ всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих уравнению. Число решений уравнения при фиксированном $a=a_0$ равно числу общих точек множества $S$ с горизонтальной прямой $a=a_0$. Нужно найти все $a_0$, при которых таких точек больше двух.

Раскроем модуль.

1) $4x+2a⩾0$, то есть $a⩾-2x$. Уравнение примет вид

$$x^2+a^2+2x-4a=4x+2a\iff x^2-2x+a^2-6a=0\iff (x-1{)}^2+(a-3{)}^2=10.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $(1;3)$ и радиусом $\sqrt{10}$; берём её часть, лежащую не ниже прямой $a=-2x$. Найдём точки пересечения окружности с прямой: подставим $a=-2x$ в $x^2-2x+a^2-6a=0$:

$$x^2-2x+4x^2+12x=0\iff 5x(x+2)=0\iff x=0\text{или}x=-2.$$

Получаем точки $(0;0)$ и $(-2;4)$. Центр $(1;3)$ лежит выше прямой ($3>-2$), поэтому нужная часть — большая дуга ${\omega }_1$; исключается малая дуга слева между точками $(0;0)$ и $(-2;4)$.

2) $4x+2a⩽0$, то есть $a⩽-2x$. Уравнение примет вид

$$x^2+a^2+2x-4a=-4x-2a\iff x^2+6x+a^2-2a=0\iff (x+3{)}^2+(a-1{)}^2=10.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $(-3;1)$ и радиусом $\sqrt{10}$; берём её часть не выше прямой $a=-2x$. Подставим $a=-2x$:

$$x^2+6x+4x^2+4x=0\iff 5x(x+2)=0,$$

то есть ${\omega }_2$ пересекает прямую в тех же точках $(0;0)$ и $(-2;4)$. Центр $(-3;1)$ лежит ниже прямой ($1<6$), поэтому нужная часть — большая дуга ${\omega }_2$; исключается малая дуга справа между этими точками.

Множество $S$ — объединение двух больших дуг.

Посчитаем точки пересечения дуг с прямой $a=m$.

Прямая $a=m$ пересекает ${\omega }_1$ в точках $x=1\pm \sqrt{10-(m-3{)}^2}$ при $3-\sqrt{10}<m<3+\sqrt{10}$ и касается её при $m=3\pm \sqrt{10}$. Исключённая малая дуга ${\omega }_1$ — это часть левой половины окружности с ординатами от $0$ до $4$. Поэтому дуга ${\omega }_1$ даёт: при $m=3-\sqrt{10}$ одну точку (нижняя точка $(1;3-\sqrt{10})$), при $3-\sqrt{10}<m⩽0$ две точки, при $0<m<4$ одну точку (правую), при $4⩽m<3+\sqrt{10}$ две точки, при $m=3+\sqrt{10}$ одну.

Аналогично прямая $a=m$ пересекает ${\omega }_2$ в точках $x=-3\pm \sqrt{10-(m-1{)}^2}$. Исключённая малая дуга ${\omega }_2$ — часть правой половины окружности с ординатами от $0$ до $4$. Поэтому дуга ${\omega }_2$ даёт: при $m=1-\sqrt{10}$ одну точку, при $1-\sqrt{10}<m⩽0$ две, при $0<m<4$ одну (левую), при $4⩽m<1+\sqrt{10}$ две, при $m=1+\sqrt{10}$ одну (верхняя точка $(-3;1+\sqrt{10})$).

Окружности пересекаются только в точках $(0;0)$ и $(-2;4)$, поэтому общие точки двух дуг бывают только при $m=0$ и $m=4$. Учитывая $1-\sqrt{10}<3-\sqrt{10}<0<4<1+\sqrt{10}<3+\sqrt{10}$, сложим:

• $m<1-\sqrt{10}$ или $m>3+\sqrt{10}$: точек нет;
• $m=1-\sqrt{10}$ или $m=3+\sqrt{10}$: одна точка;
• $1-\sqrt{10}<m<3-\sqrt{10}$ или $1+\sqrt{10}<m<3+\sqrt{10}$: две точки (только одна из дуг);
• $m=3-\sqrt{10}$: две точки на ${\omega }_2$ и точка касания с ${\omega }_1$ — три точки;
• $3-\sqrt{10}<m<0$: по две точки на каждой дуге — четыре точки;
• $m=0$: точки $x=0$, $x=2$ на ${\omega }_1$ и $x=0$, $x=-6$ на ${\omega }_2$, точка $x=0$ общая — три точки;
• $0<m<4$: по одной точке на каждой дуге — две точки;
• $m=4$: точки $x=-2$, $x=4$ на ${\omega }_1$ и $x=-4$, $x=-2$ на ${\omega }_2$, точка $x=-2$ общая — три точки;
• $4<m<1+\sqrt{10}$: четыре точки;
• $m=1+\sqrt{10}$: две точки на ${\omega }_1$ и точка касания с ${\omega }_2$ — три точки.

На рисунке жирным выделены дуги, из которых состоит $S$, тонкими линиями — исключённые части окружностей и прямая $a=-2x$. Граничные положения прямой $a=m$: касание ${\omega }_1$ снизу при $m=3-\sqrt{10}$, ось $Ox$ при $m=0$, пунктирная прямая $m=4$ и касание ${\omega }_2$ сверху при $m=1+\sqrt{10}$. Вертикальная ось на рисунке — ось $a$.

Больше двух решений уравнение имеет при $3-\sqrt{10}⩽a⩽0$ и при $4⩽a⩽1+\sqrt{10}$.

Ответ: $a\in \left[3-\sqrt{10};0\right]\cup \left[4;1+\sqrt{10}\right]$.