Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств x≤2a+6, 6x≥x²+a²… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Системы неравенств с параметром средняя развёрнутое

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система неравенств

$⎩ ⎨ ⎧ x \leq 2 a + 6, 6 x \geq x^{2} + a^{2}, x + a > 0$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1; 2]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Будем рассматривать $a$ как вторую переменную и изобразим множество решений системы на плоскости $(x; a)$ . Нужно найти все $a$ , при которых горизонтальная прямая на высоте $a$ имеет общую точку с этим множеством в полосе $1 ⩽ x ⩽ 2$ .

Преобразуем каждое неравенство.

Первое: $x ⩽ 2 a + 6 \Leftrightarrow a ⩾ \frac{x}{2} - 3$ — полуплоскость не ниже прямой $a = \frac{x}{2} - 3$ .

Второе: $6 x ⩾ x^{2} + a^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 9 + a^{2} ⩽ 9 \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + a^{2} ⩽ 9$ — круг с центром $(3; 0)$ и радиусом $3$ вместе с границей.

Третье: $x + a > 0 \Leftrightarrow a > - x$ — полуплоскость выше прямой $a = - x$ , без самой прямой.

Рисунок к решению

Прямые $a = \frac{x}{2} - 3$ и $a = - x$ пересекаются там, где $\frac{x}{2} - 3 = - x$ , то есть в точке $(2; - 2)$ . При $x ⩽ 2$

$- x - (\frac{x}{2} - 3) = 3 - \frac{3 x}{2} ⩾ 0,$

то есть в полосе $1 ⩽ x ⩽ 2$ прямая $a = - x$ лежит не ниже прямой $a = \frac{x}{2} - 3$ . Значит, там из $a > - x$ следует $a > \frac{x}{2} - 3$ , и первое неравенство выполняется автоматически. В полосе система равносильна условиям

${a > - x, a^{2} ⩽ 6 x - x^{2} .$

Зафиксируем $x \in [1; 2]$ . Второе условие означает $- 6 x - x^{2} ⩽ a ⩽ 6 x - x^{2}$ . Сравним нижние границы: $x^{2} ⩽ 6 x - x^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} ⩽ 6 x \Leftrightarrow x ⩽ 3$ , поэтому $- x ⩾ - 6 x - x^{2}$ . Значит, при фиксированном $x$ подходят

$- x < a ⩽ 6 x - x^{2} .$

Когда $x$ растёт от $1$ до $2$ , нижняя граница $- x$ убывает от $- 1$ до $- 2$ , а выражение $6 x - x^{2} = 9 - (x - 3)^{2}$ возрастает (при $x < 3$ ) от $5$ до $8$ , поэтому верхняя граница растёт от $5$ до $22$ . Следовательно, каждый промежуток $(- x; 6 x - x^{2}]$ содержится в промежутке, полученном при $x = 2$ :

$(- 2; 22] .$

Значит, система имеет решение на отрезке $[1; 2]$ ровно при $a \in (- 2; 22]$ , и подходит, например, $x = 2$ .

Граничные значения. При $a = 22$ подходит $x = 2$ : $2 ⩽ 42 + 6$ , $12 ⩾ 4 + 8$ , $2 + 22 > 0$ . При $a > 22$ имеем $a^{2} > 8 ⩾ 6 x - x^{2}$ — решений нет. При $a = - 2$ условие $a > - x$ даёт $x > 2$ — вне отрезка, решений нет; при $a < - 2$ тем более.

На рисунке вертикальная ось — ось $a$ ; граничные положения горизонтальной прямой показаны пунктиром.

Графическая иллюстрация

Ответ: $a \in (- 2; 22]$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19