ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=3a+10$. Тогда $3a+14=t+4$, и неравенство примет вид

$$|x+t|+|x-t-4|⩽3|x|+3|x-2|.$$

Обозначим правую часть $f(x)=3|x|+3|x-2|$, левую — $g(x)=|x+t|+|x-t-4|$. Нужно найти все $t$, при которых $g(x)⩽f(x)$ при всех $x$, то есть график $g$ нигде не поднимается выше графика $f$.

Раскроем модули в $f(x)$. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=2$.

При $x<0$: $f(x)=-3x-3(x-2)=-6x+6$.

При $0⩽x⩽2$: $f(x)=3x-3(x-2)=6$.

При $x>2$: $f(x)=3x+3(x-2)=6x-6$.

График $f$ — «корыто»: горизонтальное дно $y=6$ на отрезке $[0;2]$ и два луча с угловыми коэффициентами $-6$ и $6$. Наименьшее значение $f(x)$ равно $6$.

Раскроем модули в $g(x)$. Нули подмодульных выражений: $x=-t$ и $x=t+4$. Их середина $\frac{-t+t+4}{2}=2$ не зависит от $t$.

Если $t>-2$, то $-t<t+4$, и

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+4,& x<-t,\\ 2t+4,& -t⩽x⩽t+4,\\ 2x-4,& x>t+4.\end{array}$$

Если $t⩽-2$, то $t+4⩽-t$, и

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+4,& x<t+4,\\ -2t-4,& t+4⩽x⩽-t,\\ 2x-4,& x>-t.\end{array}$$

В обоих случаях график $g$ — тоже «корыто»: дно на высоте $|2t+4|$ над отрезком с серединой $x=2$, а боковые лучи лежат на прямых $y=-2x+4$ и $y=2x-4$, то есть на графике $y=2|x-2|$. При изменении $t$ дно «скользит» вверх и вниз, а боковые стороны остаются на месте.

Концы дна: $-t=2-(t+2)$ и $t+4=2+(t+2)$, поэтому дно — это точки, для которых $|x-2|⩽|t+2|$. На дне $g(x)=|2t+4|⩾2|x-2|$, а вне дна $g(x)=2|x-2|>|2t+4|$. Поэтому при всех $x$

$$g(x)=\max (2|x-2|;|2t+4|).$$

Необходимое условие. Неравенство должно выполняться и при $x=2$. Здесь $f(2)=6$ и $g(2)=|t+2|+|-t-2|=|2t+4|$, поэтому

$$|2t+4|⩽6.$$

Достаточность. Пусть $|2t+4|⩽6$. Тогда при любом $x$ выполнено $f(x)⩾6⩾|2t+4|$, так как $6$ — наименьшее значение $f$. Кроме того,

$$f(x)=3|x|+3|x-2|⩾3|x-2|⩾2|x-2|.$$

Значит, $f(x)$ не меньше каждого из чисел $2|x-2|$ и $|2t+4|$, то есть $f(x)⩾g(x)$ при всех $x$.

Граничное положение — $|2t+4|=6$: дно $g$ поднимается до уровня $y=6$ и касается дна $f$ на отрезке $[0;2]$. Если дно поднять выше, то в точке $x=2$ график $g$ окажется выше графика $f$.

Вернёмся к параметру $a$: $2t+4=6a+24$, поэтому

$$|6a+24|⩽6\iff |a+4|⩽1\iff -1⩽a+4⩽1\iff -5⩽a⩽-3.$$

Ответ: $a\in [-5;-3]$.