ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$u=1-(x-2a+1{)}^2,v=2^{|x+2a|}.$$

Так как $2^{3|x+2a|}={\left(2^{|x+2a|}\right)}^3=v^3$ и $2^{2|x+2a|}=v^2$, уравнение примет вид

$$u^3-u^2=v^3-v^2.$$

Оценим новые переменные. Квадрат неотрицателен: $(x-2a+1{)}^2⩾0$, поэтому $u⩽1$. Модуль неотрицателен: $|x+2a|⩾0$, а функция $2^s$ возрастает, поэтому $v⩾2^0=1$.

Рассмотрим функцию

$$f(s)=s^3-s^2=s^2(s-1).$$

Множитель $s^2$ неотрицателен, поэтому знак $f(s)$ определяется множителем $s-1$: при $s⩽1$ получаем $f(s)⩽0$, а при $s⩾1$ получаем $f(s)⩾0$.

Уравнение записывается как $f(u)=f(v)$. Так как $u⩽1$ и $v⩾1$, имеем

$$f(u)⩽0⩽f(v).$$

Равенство $f(u)=f(v)$ возможно только тогда, когда обе части равны нулю. Значит, исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{u}^2(u-1)=0,\\ v^2(v-1)=0.\end{array}$$

Из второго уравнения $v=0$ или $v=1$, но $v⩾1$, поэтому $v=1$:

$$2^{|x+2a|}=2^0\iff |x+2a|=0\iff x=-2a.$$

Итак, корнем может быть только $x=-2a$. При таком $x$ получаем $x-2a+1=1-4a$, и $u=1-(1-4a{)}^2$. Первое уравнение системы даёт $u=0$ или $u=1$:

$$[\begin{array}{l}1-(1-4a{)}^2=0,\\ 1-(1-4a{)}^2=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}(1-4a{)}^2=1,\\ (1-4a{)}^2=0.\end{array}$$

Первое уравнение совокупности: $1-4a=1$ или $1-4a=-1$, то есть $a=0$ или $a=0,5$. Второе: $1-4a=0$, то есть $a=0,25$.

Все переходы были равносильными, поэтому при этих и только при этих значениях $a$ число $x=-2a$ является корнем исходного уравнения (обе его части обращаются в ноль). При остальных $a$ корней нет.

Ответ: $a\in \{0;0,25;0,5\}$.