Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (5x+|2x-a|-|3x|)²-(a+2)(5x+|2x-a|-|3x|)+1=0… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$(5 x + ∣2 x - a ∣ - ∣3 x ∣)^{2} - (a + 2) (5 x + ∣2 x - a ∣ - ∣3 x ∣) + 1 = 0$

имеет ровно два различных корня.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим $t = 5 x + ∣2 x - a ∣ - ∣3 x ∣$ . Тогда уравнение примет вид

$t^{2} - (a + 2) t + 1 = 0. (*)$

Число корней исходного уравнения зависит от двух вещей: сколько различных корней $t$ имеет уравнение $(*)$ и сколько значений $x$ соответствует каждому такому $t$ . Поэтому сначала исследуем функцию

$g (x) = 5 x + ∣2 x - a ∣ - ∣3 x ∣.$

Нули подмодульных выражений: $x = 0$ и $x = \frac{a}{2}$ . Их порядок на числовой прямой зависит от знака $a$ , поэтому рассмотрим три случая.

Случай $a > 0$ . Тогда $0 < \frac{a}{2}$ .

При $x ⩽ 0$ имеем $2 x - a < 0$ и $3 x ⩽ 0$ , поэтому $∣2 x - a ∣ = a - 2 x$ , $∣3 x ∣ = - 3 x$ :

$g (x) = 5 x + a - 2 x + 3 x = 6 x + a .$

При $0 ⩽ x ⩽ \frac{a}{2}$ имеем $∣2 x - a ∣ = a - 2 x$ , $∣3 x ∣ = 3 x$ :

$g (x) = 5 x + a - 2 x - 3 x = a .$

При $x ⩾ \frac{a}{2}$ имеем $∣2 x - a ∣ = 2 x - a$ , $∣3 x ∣ = 3 x$ :

$g (x) = 5 x + 2 x - a - 3 x = 4 x - a .$

График g(x) при a > 0: постоянный участок на отрезке [0; a/2]

На луче $(- \infty; 0]$ функция $g$ возрастает и принимает все значения из $(- \infty; a]$ , на отрезке $[0; \frac{a}{2}]$ она постоянна и равна $a$ , на луче $[\frac{a}{2}; + \infty)$ возрастает и принимает все значения из $[a; + \infty)$ .

Значит, каждое значение $t < a$ функция принимает ровно в одной точке (на левом луче: $x = \frac{t - a}{6}$ ), каждое значение $t > a$ — тоже ровно в одной точке (на правом луче: $x = \frac{t + a}{4}$ ), а значение $t = a$ — во всех точках отрезка $[0; \frac{a}{2}]$ , то есть бесконечно много раз.

Случай $a = 0$ . Тогда $g (x) = 5 x + ∣2 x ∣ - ∣3 x ∣$ . При $x < 0$ получаем $g (x) = 5 x - 2 x + 3 x = 6 x$ , при $x ⩾ 0$ получаем $g (x) = 5 x + 2 x - 3 x = 4 x$ .

Рисунок к решению

Функция непрерывна и возрастает на всей прямой, её множество значений — все действительные числа. Каждое значение $t$ она принимает ровно в одной точке.

Случай $a < 0$ . Тогда $\frac{a}{2} < 0$ .

При $x ⩽ \frac{a}{2}$ : $∣2 x - a ∣ = a - 2 x$ , $∣3 x ∣ = - 3 x$ , и $g (x) = 5 x - 2 x + a + 3 x = 6 x + a$ .

При $\frac{a}{2} ⩽ x ⩽ 0$ : $∣2 x - a ∣ = 2 x - a$ , $∣3 x ∣ = - 3 x$ , и $g (x) = 5 x + 2 x - a + 3 x = 10 x - a$ .

При $x ⩾ 0$ : $∣2 x - a ∣ = 2 x - a$ , $∣3 x ∣ = 3 x$ , и $g (x) = 5 x + 2 x - a - 3 x = 4 x - a$ .

На стыках значения совпадают: $g (\frac{a}{2}) = 3 a + a = 4 a$ по обеим формулам, $g (0) = - a$ по обеим формулам, то есть функция непрерывна.

Рисунок к решению

Все угловые коэффициенты $6$ , $10$ , $4$ положительны, поэтому $g$ возрастает на всей прямой и принимает все действительные значения. Каждое значение $t$ она принимает ровно в одной точке.

Итог исследования замены. При $a ⩽ 0$ каждому значению $t$ соответствует ровно один корень $x$ . При $a > 0$ каждому значению $t \neq = a$ соответствует ровно один корень $x$ , а значению $t = a$ — бесконечно много корней. Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$ , так как в одной точке $x$ функция $g$ принимает одно значение.

Дискриминант уравнения $(*)$ :

$D = (a + 2)^{2} - 4 = (a + 2 - 2) (a + 2 + 2) = a (a + 4) .$

Пусть $a ⩽ 0$ . Исходное уравнение имеет столько же корней, сколько различных корней у уравнения $(*)$ . Ровно два корня будет, когда $D > 0$ :

$a (a + 4) > 0.$

Метод интервалов

С учётом условия $a ⩽ 0$ получаем $a < - 4$ . При $a = - 4$ и $a = 0$ имеем $D = 0$ , уравнение $(*)$ имеет один корень, и исходное уравнение — один корень; эти значения не подходят.

Пусть $a > 0$ . Тогда $D = a (a + 4) > 0$ , и уравнение $(*)$ имеет два различных корня $t_{1} \neq = t_{2}$ .

Если ни один из них не равен $a$ , то каждый даёт ровно один корень $x$ , и всего корней ровно два.

Если один из корней равен $a$ , то корней $x$ бесконечно много. Подставим $t = a$ в $(*)$ :

$a^{2} - (a + 2) a + 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} .$

Действительно, при $a = \frac{1}{2}$ уравнение $t^{2} - \frac{5}{2} t + 1 = 0$ имеет корни $t = 2$ и $t = \frac{1}{2} = a$ , и все точки отрезка $[0; \frac{1}{4}]$ — корни исходного уравнения. Значит, при $a > 0$ подходят все значения, кроме $a = \frac{1}{2}$ .

Объединим найденные множества:

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - 4) \cup (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19