Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (7x+|x+a|-|6x|)²+(a+1)(7x+|x+a|-|6x|)-a-1=0… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(7 x + ∣ x + a ∣ - ∣6 x ∣)^{2} + (a + 1) (7 x + ∣ x + a ∣ - ∣6 x ∣) - a - 1 = 0$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим

$g (x) = 7 x + ∣ x + a ∣ - ∣6 x ∣.$

Уравнение принимает вид $g (x)^{2} + (a + 1) g (x) - a - 1 = 0$ . Сделаем замену $t = g (x)$ :

$t^{2} + (a + 1) t - a - 1 = 0.$

Разным корням $t_{0}$ соответствуют разные $x$ , поэтому число решений исходного уравнения равно сумме чисел решений уравнений $g (x) = t_{0}$ по всем корням $t_{0}$ . Дискриминант квадратного уравнения:

$D = (a + 1)^{2} + 4 (a + 1) = (a + 1) (a + 5) .$

Исследуем функцию $g$ . Нули подмодульных выражений: $x = - a$ и $x = 0$ . Порядок этих точек зависит от знака $a$ .

1) $a = 0$ . Тогда $g (x) = 7 x + ∣ x ∣ - 6∣ x ∣ = 7 x - 5∣ x ∣$ .

Рисунок к решению

При $x ⩾ 0$ : $g (x) = 7 x - 5 x = 2 x$ . При $x < 0$ : $g (x) = 7 x + 5 x = 12 x$ .

Рисунок к решению

Функция непрерывна, строго возрастает и принимает все значения от $- \infty$ до $+ \infty$ , причём каждое ровно один раз. Значит, решений два ровно тогда, когда квадратное уравнение имеет два различных корня. При $a = 0$ уравнение $t^{2} + t - 1 = 0$ имеет $D = 5 > 0$ . Значение $a = 0$ подходит.

2) $a > 0$ . Тогда $- a < 0$ , и модули раскрываются на трёх промежутках.

Рисунок к решению

При $x ⩽ - a$ : $g (x) = 7 x - x - a + 6 x = 12 x - a$ .

При $- a < x < 0$ : $g (x) = 7 x + x + a + 6 x = 14 x + a$ .

При $x ⩾ 0$ : $g (x) = 7 x + x + a - 6 x = 2 x + a$ .

На стыках значения совпадают: $g (- a) = - 13 a$ по обеим формулам, $g (0) = a$ по обеим формулам. Все угловые коэффициенты положительны, поэтому $g$ непрерывна, строго возрастает и каждое значение принимает ровно один раз.

Рисунок к решению

Как и в первом случае, нужно $D > 0$ :

$(a + 1) (a + 5) > 0 ⟺ a \in (- \infty; - 5) \cup (- 1; + \infty) .$

При $a > 0$ это выполнено всегда, поэтому подходят все $a \in (0; + \infty)$ .

3) $a < 0$ . Тогда $0 < - a$ .

Рисунок к решению

При $x ⩽ 0$ имеем $x + a < 0$ и $6 x ⩽ 0$ : $g (x) = 7 x - x - a + 6 x = 12 x - a$ .

При $0 < x < - a$ имеем $x + a < 0$ и $6 x > 0$ : $g (x) = 7 x - x - a - 6 x = - a$ .

При $x ⩾ - a$ оба выражения неотрицательны: $g (x) = 7 x + x + a - 6 x = 2 x + a$ .

На стыках: $g (0) = - a$ и $g (- a) = - 2 a + a = - a$ . Функция непрерывна: на луче $(- \infty; 0]$ возрастает от $- \infty$ до $- a$ , на отрезке $[0; - a]$ постоянна и равна $- a$ , на луче $[- a; + \infty)$ возрастает от $- a$ до $+ \infty$ .

Рисунок к решению

Значит, уравнение $g (x) = t_{0}$ имеет бесконечно много решений при $t_{0} = - a$ и ровно одно решение при $t_{0} \neq = - a$ .

Чтобы решений было ровно два, квадратное уравнение должно иметь два различных корня, и ни один из них не должен равняться $- a$ . Действительно, при одном корне или без корней решений не больше одного, а корень $- a$ даёт бесконечно много решений.

Пусть $f (t) = t^{2} + (a + 1) t - a - 1$ . Найдём $f (- a)$ :

$f (- a) = a^{2} - a (a + 1) - a - 1 = - 2 a - 1.$

Получаем систему:

${(a + 1) (a + 5) > 0, - 2 a - 1 \neq = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ a \in (- \infty; - 5) \cup (- 1; + \infty), a \neq = - \frac{1}{2} .$

С учётом $a < 0$ получаем $a \in (- \infty; - 5) \cup (- 1; - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}; 0)$ .

Объединим результаты трёх случаев: промежуток $(- \frac{1}{2}; 0)$ , точка $0$ и промежуток $(0; + \infty)$ сливаются в $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - 5) \cup (- 1; - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19