ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

По определению функции множество точек является графиком функции $y=f(x)$, заданной при всех действительных $x$, тогда и только тогда, когда для каждого $x$ уравнение относительно $y$

$$y^3+a{y}^2+4ay-9y=\sqrt{23}x$$

имеет ровно одно решение.

Заметим, что в уравнении фактически выражено $x$ через $y$:

$$x=h(y)=\frac{y^3+a{y}^2+(4a-9)y}{\sqrt{23}}.$$

Это функция $x=h(y)$ в «повёрнутых» осях, где аргумент $y$ откладывается по горизонтали, а значение $x$ — по вертикали. Условие «каждому $x$ соответствует ровно одно $y$» означает, что функция $h$ принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Функция $h$ — многочлен третьей степени с положительным старшим коэффициентом. Она непрерывна, стремится к $+\infty$ при $y\to +\infty$ и к $-\infty$ при $y\to -\infty$. По теореме о промежуточном значении каждое значение $x$ она принимает хотя бы один раз. Остаётся потребовать, чтобы никакое значение не принималось дважды. Непрерывная функция на всей прямой обладает этим свойством тогда и только тогда, когда она строго монотонна, а с учётом поведения на бесконечности — строго возрастает.

Найдём производную:

$$h^{\prime }(y)=\frac{3y^2+2ay+4a-9}{\sqrt{23}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $3y^2+2ay+4a-9$. Его ветви направлены вверх.

Если у трёхчлена два различных корня, то между ними он отрицателен: функция $h$ возрастает, затем убывает, затем снова возрастает. У неё есть локальный максимум и локальный минимум, и значения между ними она принимает трижды — график в осях $xOy$ не является графиком функции.

Если дискриминант не положителен, трёхчлен неотрицателен при всех $y$ и обращается в ноль не более чем в одной точке. Тогда $h$ строго возрастает, и условие задачи выполнено.

Итак, нужно

$$\frac{D}{4}=a^2-3(4a-9)⩽0⟺a^2-12a+27⩽0⟺(a-3)(a-9)⩽0.$$

Решим неравенство методом интервалов:

Получаем $3⩽a⩽9$.

Ответ: $a\in [3;9]$.