ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение содержит $\sqrt{a}$, поэтому $a⩾0$. При каждом таком $a$ оно задаёт горизонтальную прямую $y=6\sqrt{a}-1$.

Преобразуем первое уравнение. Раскроем произведение $(y-4a)(y+4a)=y^2-16a^2$ и перенесём слагаемые:

$${\left(|x|-a^2\right)}^2+y^2-16a^2=9a^2-2y-1,$$

$${\left(|x|-a^2\right)}^2+y^2+2y+1=25a^2,$$

$${\left(|x|-a^2\right)}^2+(y+1{)}^2=(5a{)}^2.$$

Подставим $y=6\sqrt{a}-1$, то есть $y+1=6\sqrt{a}$:

$${\left(|x|-a^2\right)}^2+36a=25a^2⟺{\left(|x|-a^2\right)}^2=a(25a-36).$$

Значение $y$ фиксировано, поэтому каждому корню $x$ этого уравнения соответствует ровно одно решение системы. Будем считать различные $x$. Удобно смотреть на уравнение как на уравнение относительно $u=|x|⩾0$: значение $u>0$ даёт два корня $x=\pm u$, значение $u=0$ — один корень $x=0$.

$a=0$. Уравнение $x^2=0$ даёт только $x=0$ — одно решение. Не подходит.

$0<a<\frac{36}{25}$. Правая часть $a(25a-36)$ отрицательна, а левая неотрицательна — решений нет.

$a=\frac{36}{25}$. Правая часть равна нулю: $|x|=a^2>0$, корни $x=\pm a^2$ — два решения. Подходит.

$a>\frac{36}{25}$. Правая часть положительна, извлечём корень:

$$[\begin{array}{l}|x|=a^2+\sqrt{a(25a-36)},\\ |x|=a^2-\sqrt{a(25a-36)}.\end{array}$$

Число $a^2+\sqrt{a(25a-36)}$ положительно, поэтому первое уравнение даёт два различных корня. Второе значение $|x|$ меньше первого, и его корни с корнями первого не совпадают.

Если $a^2-\sqrt{a(25a-36)}>0$, второе уравнение даёт ещё два корня — всего четыре. Если оно равно нулю, добавляется корень $x=0$ — всего три. Чтобы решений было ровно два, нужно

$$a^2-\sqrt{a(25a-36)}<0⟺a^2<\sqrt{a(25a-36)}.$$

Обе части положительны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход. Затем разделим на $a>0$:

$$a^4<a(25a-36)⟺a^3-25a+36<0.$$

Число $a=4$ — корень многочлена: $64-100+36=0$. Разделив на $a-4$, получим

$$(a-4)\left(a^2+4a-9\right)<0.$$

Корни квадратного трёхчлена: $a=-2\pm \sqrt{13}$. При $a>0$ множитель $a+2+\sqrt{13}$ положителен, поэтому знак произведения определяется множителями $a-4$ и $a-\left(\sqrt{13}-2\right)$: неравенство выполнено при $\sqrt{13}-2<a<4$.

Сравним $\sqrt{13}-2$ с $\frac{36}{25}$: неравенство $\sqrt{13}-2>\frac{36}{25}$ равносильно $\sqrt{13}>\frac{86}{25}$, то есть $13\cdot 625>86^2$, $8125>7396$ — верно. Значит, весь промежуток $\left(\sqrt{13}-2;4\right)$ лежит в области $a>\frac{36}{25}$ и целиком подходит.

На концах: при $a=\sqrt{13}-2$ и при $a=4$ выполнено равенство $a^2=\sqrt{a(25a-36)}$ — три решения. При $\frac{36}{25}<a<\sqrt{13}-2$ и при $a>4$ — четыре решения.

Объединим найденные значения:

Ответ: $a\in \left\{\frac{36}{25}\right\}\cup \left(\sqrt{13}-2;4\right)$.