ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Пусть $f(x)=(x+3)|x+3|$ и $g(x)=2x-a$. Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Прямая $y=2x-a$ имеет угловой коэффициент $2$; при изменении $a$ она сдвигается вверх или вниз.

Раскроем модуль по определению:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+3{)}^2,& x⩾-3,\\ -(x+3{)}^2,& x<-3.\end{array}$$

Уравнение $y=(x+3{)}^2$ задаёт параболу с ветвями вверх, $y=-(x+3{)}^2$ — параболу с ветвями вниз; обе с вершиной $(-3;0)$. График $f$ — правая половина первой параболы и левая половина второй.

Исследуем корни на каждой половине отдельно. Промежутки $x⩾-3$ и $x<-3$ не пересекаются, поэтому корни с разных половин различны.

Правая половина, $x⩾-3$.

$$(x+3{)}^2=2x-a⟺x^2+4x+9+a=0,\frac{D}{4}=4-9-a=-5-a.$$

При $a>-5$ корней нет. При $a=-5$ корень один: $x=-2⩾-3$ — прямая касается правой половины в точке $(-2;1)$.

При $a<-5$ корни $x=-2\pm \sqrt{-5-a}$. Корень $-2+\sqrt{-5-a}>-3$ подходит всегда. Корень $-2-\sqrt{-5-a}$ подходит при $\sqrt{-5-a}⩽1$, то есть $a⩾-6$. Итак, при $-6⩽a<-5$ корней два, при $a<-6$ — один.

Левая половина, $x<-3$.

$$-(x+3{)}^2=2x-a⟺x^2+8x+9-a=0,\frac{D}{4}=16-9+a=7+a.$$

При $a<-7$ корней нет. При $a=-7$ корень один: $x=-4<-3$ — прямая касается левой половины в точке $(-4;-1)$.

При $a>-7$ корни $x=-4\pm \sqrt{7+a}$. Корень $-4-\sqrt{7+a}<-3$ подходит всегда. Корень $-4+\sqrt{7+a}$ подходит при $\sqrt{7+a}<1$, то есть $a<-6$. Итак, при $-7<a<-6$ корней два, при $a⩾-6$ — один.

Сложим корни на двух половинах:

при $a<-7$: $0+1=1$;

при $a=-7$: $1+1=2$ — случай I, касание левой половины;

при $-7<a<-6$: $2+1=3$;

при $a=-6$: $1+2=3$ (корни $-5$, $-3$, $-1$);

при $-6<a<-5$: $1+2=3$;

при $a=-5$: $1+1=2$ — случай II, касание правой половины;

при $a>-5$: $1+0=1$.

Покажем положения I и II на рисунке пунктиром. При $a=-7$ прямая $y=2x+7$ касается левой половины в точке $(-4;-1)$ и пересекает правую в точке с абсциссой $-2+\sqrt{2}$. При $a=-5$ прямая $y=2x+5$ касается правой половины в точке $(-2;1)$ и пересекает левую в точке с абсциссой $-4-\sqrt{2}$.

Ровно два решения уравнение имеет только в положениях касания.

Ответ: $a\in \{-7;-5\}$.