ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Найдём ограничения: корень в знаменателе должен быть определён и не равен нулю, то есть $x+3>0$, $x>-3$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Разложим числитель на множители:

$$x{y}^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$

Значит, исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}(y-3)(xy-3)=0,\\ x>-3,\\ y=ax.\end{array}$$

Способ 1 (графический).

Первое уравнение задаёт объединение прямой $y=3$ и гиперболы $xy=3$. В уравнении $xy=3$ можно разделить на $x$, так как $x=0$ ему не удовлетворяет: получаем $y=\frac{3}{x}$. Условие $x>-3$ оставляет часть этого множества правее прямой $x=-3$, точки самой прямой не входят.

Отметим характерные точки. Гипербола пересекает прямую $x=-3$ в точке $B(-3;-1)$, так как $\frac{3}{-3}=-1$; эта точка выколота. Прямая $y=3$ пересекает гиперболу в точке $C$: $3=\frac{3}{x}$, $x=1$, то есть $C(1;3)$.

Второе уравнение при каждом $a$ задаёт прямую $l$: $y=ax$, проходящую через начало координат. Она может быть любой, кроме вертикальной. Нужно найти положения $l$, при которых у неё ровно три общие точки с построенным множеством в области $x>-3$.

Найдём положения прямой $l$, проходящие через точки $B$ и $C$:

$$B:-1=-3a,a=\frac{1}{3};C:3=a\cdot 1,a=3.$$

На рисунке эти положения показаны пунктиром, тонкая вертикальная прямая — граница $x=-3$.

При $a=0$ прямая $l$ совпадает с осью $Ox$ и не пересекает ни прямую $y=3$, ни гиперболу.

При $a<0$ прямая $l$ лежит во II и IV четвертях, а ветви гиперболы — в I и III, поэтому с гиперболой общих точек нет. С прямой $y=3$ общая точка не больше одной. Решений не больше одного.

При $a>0$ прямая $l$ лежит в I и III четвертях.

С прямой $y=3$ она пересекается в точке $\left(\frac{3}{a};3\right)$, и $\frac{3}{a}>0>-3$ — эта точка подходит всегда.

С гиперболой: $ax=\frac{3}{x}$, $x^2=\frac{3}{a}$, $x=\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$. Точка правой ветви, $x=\sqrt{\frac{3}{a}}>0$, подходит всегда. Точка левой ветви, $x=-\sqrt{\frac{3}{a}}$, подходит, если $-\sqrt{\frac{3}{a}}>-3$, то есть $\frac{3}{a}<9$, $a>\frac{1}{3}$. Геометрически это значит, что прямая $l$ круче прямой $OB$.

Точка на прямой $y=3$ может совпасть только с точкой правой ветви, и это точка $C$: тогда $a=3$.

Итог для $a>0$: при $0<a⩽\frac{1}{3}$ общих точек две; при $\frac{1}{3}<a<3$ — три; при $a=3$ — две: $C(1;3)$ и $(-1;-3)$; при $a>3$ — снова три.

Способ 2 (алгебраический).

При $y=ax$ каждому $x$ соответствует единственное $y$, а разным $x$ — разные точки. Поэтому нужно, чтобы система

$$\{\begin{array}{l}(ax-3)\left(a{x}^2-3\right)=0,\\ x>-3\end{array}$$

имела ровно три различных решения относительно $x$.

При $a=0$ получаем $(-3)\cdot (-3)=9\ne 0$ — решений нет.

При $a<0$ уравнение $a{x}^2=3$ решений не имеет, а $ax=3$ даёт не больше одного корня. Не подходит.

При $a>0$ кандидаты: $x_1=\frac{3}{a}$, $x_2=\sqrt{\frac{3}{a}}$, $x_3=-\sqrt{\frac{3}{a}}$. Числа $x_1$ и $x_2$ положительны, условие $x>-3$ для них выполнено. Для $x_3$:

$$-\sqrt{\frac{3}{a}}>-3⟺\frac{3}{a}<9⟺a>\frac{1}{3}.$$

Число $x_3$ отрицательно и не совпадает с $x_1$, $x_2$. Остаётся проверить $x_1=x_2$: $\frac{3}{a}=\sqrt{\frac{3}{a}}$, то есть $\frac{3}{a}=1$, $a=3$. Значит, три различных корня есть при $a>\frac{1}{3}$, $a\ne 3$.

Оба способа дают один результат.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{3};3\right)\cup (3;+\infty )$.