ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$g(x)=7x+|x+a-1|-6|x+a+1|+7a.$$

Уравнение принимает вид $g(x{)}^2-ag(x)+1=0$. Сделаем замену $t=g(x)$:

$$t^2-at+1=0.$$

Каждому корню $t_0$ этого квадратного уравнения соответствуют решения уравнения $g(x)=t_0$, и разным $t_0$ соответствуют разные $x$. Поэтому сначала выясним, сколько решений имеет уравнение $g(x)=t_0$ при разных $t_0$.

Найдём нули подмодульных выражений: $x+a-1=0$ при $x=1-a$, $x+a+1=0$ при $x=-1-a$. При любом $a$ верно $-1-a<1-a$, поэтому возможны три случая раскрытия модулей.

При $x⩽-1-a$ оба подмодульных выражения неположительны:

$$g(x)=7x-x-a+1+6x+6a+6+7a=12x+12a+7.$$

При $-1-a<x<1-a$ первое выражение отрицательно, второе положительно:

$$g(x)=7x-x-a+1-6x-6a-6+7a=-5.$$

При $x⩾1-a$ оба неотрицательны:

$$g(x)=7x+x+a-1-6x-6a-6+7a=2x+2a-7.$$

Проверим значения на стыках: $g(-1-a)=12(-1-a)+12a+7=-5$ и $g(1-a)=2(1-a)+2a-7=-5$. Значит, $g$ непрерывна. На луче $(-\infty ;-1-a]$ она возрастает от $-\infty$ до $-5$, на отрезке $[-1-a;1-a]$ постоянна и равна $-5$, на луче $[1-a;+\infty )$ возрастает от $-5$ до $+\infty$.

Отсюда следует:

если $t_0=-5$, уравнение $g(x)=t_0$ имеет бесконечно много решений (весь отрезок $[-1-a;1-a]$);

если $t_0\ne -5$, решение ровно одно: при $t_0<-5$ — на левом луче, при $t_0>-5$ — на правом.

Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда уравнение $t^2-at+1=0$ имеет два различных корня и ни один из них не равен $-5$. Действительно, если корень один или корней нет, решений не больше одного; если один из корней равен $-5$, решений бесконечно много.

Пусть $f(t)=t^2-at+1$. Запишем условия:

$$\{\begin{array}{l}D>0,\\ f(-5)\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^2-4>0,\\ 25+5a+1\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}(a-2)(a+2)>0,\\ a\ne -\frac{26}{5}.\end{array}$$

Первое неравенство выполнено при $a<-2$ или $a>2$. Так как $-\frac{26}{5}<-2$, значение $-\frac{26}{5}$ нужно исключить из левого промежутка. При $a=-\frac{26}{5}$ корни равны $-5$ и $-\frac{1}{5}$, и решений действительно бесконечно много.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{26}{5}\right)\cup \left(-\frac{26}{5};-2\right)\cup (2;+\infty )$.