ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}2-3x⩾0,\\ 16x^2-a^2>0,\\ 4x+a>0.\end{array}$$

Первое условие даёт $x⩽\frac{2}{3}$.

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{2-3x}\cdot \left(\ln \left(16x^2-a^2\right)-\ln (4x+a)\right)=0.$$

На ОДЗ произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю один из множителей:

$$[\begin{array}{l}\sqrt{2-3x}=0,\\ \ln \left(16x^2-a^2\right)=\ln (4x+a).\end{array}$$

Первый множитель. $\sqrt{2-3x}=0$ при $x=\frac{2}{3}$. Это корень, если точка $x=\frac{2}{3}$ входит в ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}16\cdot \frac{4}{9}-a^2>0,\\ \frac{8}{3}+a>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^2<\frac{64}{9},\\ a>-\frac{8}{3}\end{array}⟺-\frac{8}{3}<a<\frac{8}{3}.$$

Второй множитель. Логарифм — возрастающая функция, поэтому при положительных аргументах равенство логарифмов равносильно равенству аргументов:

$$16x^2-a^2=4x+a⟺(4x-a)(4x+a)-(4x+a)=0⟺(4x+a)(4x-a-1)=0.$$

По ОДЗ $4x+a>0$, поэтому остаётся $4x-a-1=0$, то есть $x=\frac{a+1}{4}$.

Проверим ОДЗ для этого числа. Имеем $4x+a=a+1+a=2a+1$, условие $4x+a>0$ даёт $a>-\frac{1}{2}$. Тогда и $16x^2-a^2=4x+a>0$ — второе условие ОДЗ выполнено автоматически. Условие $x⩽\frac{2}{3}$ даёт $\frac{a+1}{4}⩽\frac{2}{3}$, то есть $a⩽\frac{5}{3}$.

Итак, $x=\frac{a+1}{4}$ — корень при $-\frac{1}{2}<a⩽\frac{5}{3}$. Он совпадает с корнем $\frac{2}{3}$ при $\frac{a+1}{4}=\frac{2}{3}$, то есть при $a=\frac{5}{3}$.

Наглядно оба семейства корней видны на плоскости $(x;a)$: вертикальный отрезок $x=\frac{2}{3}$ при $-\frac{8}{3}<a<\frac{8}{3}$ и отрезок прямой $a=4x-1$ при $-\frac{1}{2}<a⩽\frac{5}{3}$.

Подсчитаем число корней.

При $a⩽-\frac{8}{3}$ корня $\frac{2}{3}$ нет, и $a<-\frac{1}{2}$, так что второго корня тоже нет — корней нет.

При $-\frac{8}{3}<a⩽-\frac{1}{2}$ есть только корень $\frac{2}{3}$ — ровно один. Подходит.

При $-\frac{1}{2}<a<\frac{5}{3}$ корни $\frac{2}{3}$ и $\frac{a+1}{4}<\frac{2}{3}$ различны — их два. Не подходит.

При $a=\frac{5}{3}$ оба корня совпадают с $\frac{2}{3}$ — корень один. Подходит.

При $\frac{5}{3}<a<\frac{8}{3}$ есть только корень $\frac{2}{3}$. Подходит.

При $a⩾\frac{8}{3}$ нет ни одного корня.

Ответ: $a\in \left(-\frac{8}{3};-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$.