Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Найдём ограничения. Под корнем в числителе: . Корень в знаменателе должен быть определён и не равен нулю: . Итак,
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Числитель — произведение, поэтому он равен нулю, когда равен нулю один из множителей.
Разложим многочлен на множители, группируя слагаемые:
Значит, первое уравнение равносильно системе
Будем решать задачу графически на плоскости . С учётом ограничений первое уравнение задаёт три линии.
Прямая при — луч, выходящий из точки вправо (условие на нём выполнено).
Прямая при и , то есть , — отрезок от точки до точки , причём точка выколота.
Прямая при — луч, идущий вверх из точки , сама точка выколота.
Второе уравнение задаёт семейство прямых, параллельных прямой . Число решений системы равно числу общих точек такой прямой с построенным множеством.
Найдём граничные положения прямой .
Положение I — прохождение через выколотую точку : , .
Положение II — совпадение с прямой : .
Положение III — прохождение через точку : , .
На рисунке эти положения показаны пунктиром.
Найдём общие точки прямой с каждой частью множества.
С лучом , : точка , она подходит при , то есть при .
С лучом , : точка , она подходит при , то есть при .
С отрезком прямой : при прямые параллельны и общих точек нет, а при весь отрезок лежит на прямой — решений бесконечно много.
Подсчитаем решения.
При общих точек нет — решений нет.
При — одна точка на вертикальном луче. Решение единственное.
При решений бесконечно много.
При — снова только точка . Решение единственное.
При точки на обоих лучах совпадают: это точка . Решение единственное.
При — две различные точки: и . Решений два.
Ответ: .