ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Два арифметических квадратных корня равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны. Так как подкоренные выражения равны, достаточно потребовать неотрицательность одного из них:

$$\sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2}⟺\{\begin{array}{l}a-y^2=a-x^2,\\ a-x^2⩾0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{y}^2=x^2,\\ x^2⩽a.\end{array}$$

При $a<0$ неравенство $x^2⩽a$ решений не имеет, и система несовместна. Дальше $a⩾0$; тогда $x^2⩽a$ означает $-\sqrt{a}⩽x⩽\sqrt{a}$ — это вертикальная полоса.

Уравнение $y^2=x^2$ равносильно $(y-x)(y+x)=0$ и задаёт пару прямых $y=x$ и $y=-x$.

Второе уравнение приведём к виду уравнения окружности, выделив полные квадраты:

$$x^2-2x+y^2-4y=0⟺(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5.$$

Это окружность с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Она проходит через начало координат: $1+4=5$.

Итак, система равносильна условию: точка лежит на окружности, на одной из прямых $y=\pm x$ и в полосе $-\sqrt{a}⩽x⩽\sqrt{a}$.

Найдём общие точки окружности с прямыми.

Прямая $y=x$: $x^2+x^2=2x+4x$, $2x^2-6x=0$, $x=0$ или $x=3$. Точки $(0;0)$ и $(3;3)$.

Прямая $y=-x$: $x^2+x^2=2x-4x$, $2x^2+2x=0$, $x=0$ или $x=-1$. Точки $(0;0)$ и $(-1;1)$.

Получили три точки: $(0;0)$, $(-1;1)$, $(3;3)$. Каждая из них — решение системы, если её абсцисса удовлетворяет условию $x^2⩽a$:

$(0;0)$ — при $a⩾0$; $(-1;1)$ — при $a⩾1$; $(3;3)$ — при $a⩾9$.

С ростом $a$ полоса $|x|⩽\sqrt{a}$ расширяется и по очереди захватывает эти точки. Граничные положения: полоса между прямыми $x=\pm 1$ ($a=1$, на границу попадает точка $(-1;1)$) и полоса между прямыми $x=\pm 3$ ($a=9$, на границу попадает точка $(3;3)$). Они показаны пунктиром.

Подсчитаем решения:

при $a<0$ решений нет; при $0⩽a<1$ — одно, $(0;0)$; при $1⩽a<9$ — два, $(0;0)$ и $(-1;1)$; при $a⩾9$ — три.

Ровно два решения система имеет при $1⩽a<9$.

Ответ: $a\in [1;9)$.